Calorimetría \(H_2O_{hielo \rightarrow \, agua}\), y un poco de entropía

• ¿Qué masa de hielo a \(0^{\circ}C\) sumergida en un litro de \(H_2O\) a \(60^{\circ}C\), en un recipiente adiabático y de calor específico despreciable, es necesaria para que el equilibrio térmico se alcance cuando la temperatura dentro del recipiente sea \(10^{\circ}C\)?

• ¿Qué viariación de entropía sufre el litro de \(H_2O\) en el proceso?

Averiguamos cuánto calor entrega el agua:

\[Q_{H_2O(l)}=m \cdot c_e \cdot \Delta T \; \wedge \, \Delta T = 10^{\circ}C-60^{\circ}C \; \therefore \, \Delta T = -50^{\circ}C\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(l)}= 1000g \cdot 1\frac{cal}{g \cdot {^{\circ}C}} \cdot (-50^{\circ}C)\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(l)}= -50000cal\]

El gráfico resume bastante lo que se sabe hasta ahora, para que el equilibrio suceda a los \(10^{\circ}C\) el hielo en algun punto se derritió completamente, además que entró en la mezcla a \(0^{\circ}C\).

\[\Sigma Q = 0\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(s)}+Q_{H_2O(l)}= 0\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(s)}+ (-50000\, cal)= 0\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)} = 50000\, cal\]

Ya se puede calcular la masa de hielo:

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}=Q_{H_2O (s)(0^{\circ}C)} + Q_{H_2O(l)(0^{\circ}C \rightarrow \, 10^{\circ}C)}\]

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)} = (L_f \cdot m ) + (c_e \cdot m \cdot \Delta T)\]

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= \left(80 \frac{cal}{g} \cdot m \right) + \left(1\frac{cal}{g \cdot {^{\circ}C}} \cdot m \cdot (10^{\circ}C - 0^{\circ}C) \right)\]

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= 80 \frac{cal}{g} \cdot m + 10\frac{cal}{g} \cdot m\]

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= 90 \frac{cal}{g} \cdot m\]

Reemplazo otra vez:

\[50000\, cal= 90 \frac{cal}{g} \cdot m\]

\[\Rightarrow \; m_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= \dfrac{50000\, cal}{90\, cal} \cdot g\]

\[\Rightarrow \; m_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= 555,55\, g\]

Ya así se puede calcular cuántas calorias fundieron toda la masa de hielo y cuántas calorías absorvió para llegar a la temperatura de equilibrio:

\[Q_{H_2O(l)}= 1\frac{cal}{g \cdot {^{\circ}C}} \cdot 555,55\, g \cdot 10^{\circ}C\]

\[Q_{H_2O(l)}= 5555\, cal\]

Entonces las calorías que fundieron al hielo son:

\[Q_{H_2O(s)}=-50000cal + 5555,5 \, cal\]

\[Q_{H_2O(s)}=-44444,5\, cal\]

\[\wedge \; L_f \cdot m_{H_2O(s)}=44444\, cal\]

Punto b:

Considero una evolución isobárica a presión constante, entonces:

\[\Delta S = c_p \cdot m \cdot ln\left(\frac{T_f}{T_i} \right)\]

\[c_{p_{agua}}=1\frac{kcal}{kg \cdot K}\]

\[\Rightarrow \; \Delta S_{agua} = 1\frac{kcal}{kg \cdot K} \cdot 1\, kg \cdot ln \left(\frac{283 \, K}{333 \, K} \right)\]

\[\Rightarrow \; \Delta S_{agua} = -0,16 kcal \cdot K^{-1}\]

Variación de entropía del hielo:

\[\Delta S_{hielo}= \dfrac{Q}{T} + c_{p_{hielo \rightarrow \,agua}} \cdot m \cdot ln \left( \dfrac{T_f}{T_i} \right)\]

Calorímetro con dos sólidos. Calorimetría. (igualito al anterior)

El gráfico representa la temperatura en función del calor intercambiado para una muestra de un kilogramo de un material X que se encuentra en estado sólido. En un calorímetro se coloca la muestra X a \(400^{\circ}C\) y junto con 2 kilogramos de una muestra de otro material Y a \(300^{\circ}C\) en estado sólido que tiene un calor específico \(1,5\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}}\) y una temperatura de fusión \(450^{\circ}C\).

• ¿Cuál es la temperatura de equilibrio?

• Se coloca en el calorímetro un kilo de sólido X a temperatura \(500^{\circ}C\) y un kilo de sólido Y a la temperatura de fusión. Al llegar al equilibrio se fundió la mitad del material Y ¿cuál es el calor latente de fusión de Y?

Primer planteo gráfico:

En los \(340^{\circ}C\) hay una intersección, por lo que comienzo el planteo acá.

El calor específico de X:

\[Q=C \cdot \Delta T \; \Rightarrow \; C= \dfrac{Q}{\Delta T} \; \wedge \; C=c_e \cdot m\]

\[\Rightarrow \; C_x=\dfrac{800kcal}{0^{\circ}C-400^{\circ}C} \; \Rightarrow \; C_x=-2\frac{kcal}{^{\circ}C}\]

\[c_{e_x} \cdot m_x = C_x \, \Rightarrow \; c_{e_x} \cdot 1kg = -2\frac{kcal}{^{\circ}C} \; \Rightarrow \; c_{e_x}=-2\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}}\]

El calor de X se libera(-):

\[Q_x=c_{e_x} \cdot m_x \cdot \Delta T \; \Rightarrow \; -Q_x=-\left(c_{e_x} \cdot m_x \cdot \Delta T \right)\]

\[\Rightarrow \; \Sigma Q= 0 \; \Rightarrow \, -Q_x+Q_y=0\] \[-\left(-2\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}} \cdot 1kg \cdot (T_f - 400^{\circ}C) \right) + \left( 1,5 \frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}} \cdot 2kg \cdot (T_f - 300^{\circ}C) \right) = 0\]

\[-\left[\left(-2\frac{kcal}{ {^{\circ}C}} \cdot T_f \right)+800kcal \right] + \left(3 \frac{kcal}{{^{\circ}C}} \cdot T_f \right) - 900kcal = 0\]

\[\left(2\frac{kcal}{ {^{\circ}C}} \cdot T_f \right) - 800kcal + \left(3 \frac{kcal}{ {^{\circ}C}} \cdot T_f \right) - 900kcal = 0\]

\[\left(5 \frac{kcal}{{^{\circ}C}} \cdot T_f \right) - 1700kcal = 0\]

\[5\frac{kcal}{ {^{\circ}C}} \cdot T_f= 1700kcal\]

\[T_f= \dfrac{1700kcal}{5\frac{kcal}{ {^{\circ}C}} }\]

\[\overset{a}{\boxed{T_f= 340^{\circ}C}}\]

Segundo planteo gráfico:

Parte b:

Datos:

• X(s), 1 kg., \(T_i=500^{\circ}C\)

• Y(s), 1 kg., \(T_i=450^{\circ}C=T_{fusion}\)

• \(T_{eq}=\frac{1}{2}m_y\)

\[T_{i_y}=T_{fusion} \; \wedge \, T_{eq}=\frac{1}{2}m_y \; \Rightarrow \; T_{i_y}=T_{fusion}=T_{eq}\]

\[Q_y=L_{f_y} \cdot \frac{1}{2}m_y \; \Rightarrow Q_y=L_{f_y} \cdot 0,5 kg\]

\[Q_x=c_{e_x} \cdot m_x \cdot \Delta T \, \Rightarrow \, Q_x=-2\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}} \cdot 1kg \cdot \left(450^{\circ}C-500^{\circ}C \right)=100kcal\]

\[\Longrightarrow Q_y=Q_x\]

\[\Longrightarrow \, L_{f_y} \cdot 0,5kg = 100kcal\] \[L_{f_y}= \dfrac{100kcal}{0,5kg}\] \[\overset{b}{\boxed{L_{f_y} = 200\frac{kcal}{kg}}}\]

Calorímetro con 2 sólidos. (exámen 2011)

El gráfico representa la temperatura en función del calor intercambiado para un kilogramo de un material X que se encuantra en estado sólido.

En un calorímetro adiabático se coloca la muestra X a \(200^{\circ}C\) junto con un kilogramo de otro material Y a \(150^{\circ}C\) en estado sólido. Al llegar al equilibrio ambos materiales son sólidos y se encuentran a \(190^{\circ}C\).

• ¿Cuál es el calor específico del material Y?

• Se coloca en el calorímetro un kilogramo de sólido X a \(300^{\circ}C\) y un kilogramo de sólido Y a la temperatura de fusión (\(250^{\circ}C\)). Al llegar al equilibrio se fundió la mitad del material Y. Determinar el calor latente de Y.

El calor específico de X:

\[Q=C \cdot \Delta T \, \Rightarrow \, C=\dfrac{Q}{\Delta T}\]

\[\Rightarrow \, C=\dfrac{800 kcal}{0^{\circ}C-200^{\circ}C}= -4\frac{kcal}{^{\circ}C}\]

\[\wedge \; C=c_e \cdot m \; \Rightarrow \; c_{e_x}=\dfrac{C}{m_x}\]

\[\Rightarrow \, c_{e_x}=\dfrac{-4\frac{kcal}{^{\circ}C}}{1kg}\; \therefore \; c_{e_x}=-4\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}}\]

Calor específico de Y:

\[\Sigma Q=0\]

\[\Rightarrow \, Q_x + Q_y=0\]

\[Q_x=c_x \cdot m_x \cdot \Delta T \, \Rightarrow \, Q_x = -4\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}} \cdot 1kg \cdot (190^{\circ}C-200^{\circ}C) \, \Rightarrow \, \cdots\]

\[\cdots \, \Rightarrow \, Q_x= -4\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}} \cdot 1kg \cdot (-10^{\circ}C) \, \Rightarrow \, Q_x=40kcal\]

\[Q_y=c_y \cdot m_y \cdot \Delta T \, \Rightarrow \, Q_y=c_y \cdot 1kg \cdot (190^{\circ}C-150^{\circ}C) \, \Rightarrow \, \cdots\]

\[\cdots \, \Rightarrow \, Q_y=c_y \cdot 1kg \cdot 40^{\circ}C\]

\[\Longrightarrow{\Sigma Q=0} \;\]

\[40kcal+c_y \cdot 1kg \cdot 40^{\circ}C=0\]

\[c_y=\dfrac{-40kcal}{1kg \cdot 40^{\circ}C}=\overset{a}{\boxed{-1\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}}}}\]

Segunda parte.

Datos:

• X(s), 1 kg., \(T_i=300^{\circ}C\)

• Y(s), 1 kg., \(T_i=250^{\circ}C=T_{fusion}\)

• \(T_{eq}=\frac{1}{2}m_y\)

\[T_{i_y}=T_{fusion} \; \wedge \, T_{eq}=\frac{1}{2}m_y \; \Rightarrow \; T_{i_y}=T_{fusion}=T_{eq}\]

\[Q_y=L_{f_y} \cdot \frac{1}{2}m_y \; \Rightarrow Q_y=L_{f_y} \cdot 0,5 kg\]

\[Q_x=c_{e_x} \cdot m_x \cdot \Delta T \, \Rightarrow \, Q_x=-4\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}} \cdot 1kg \cdot \left(250^{\circ}C-300^{\circ}C \right)=200kcal\]

\[\Longrightarrow Q_y=Q_x\]

\[\Longrightarrow \, L_{f_y} \cdot 0,5kg = 200kcal\] \[L_{f_y}= \dfrac{200kcal}{0,5kg}\] \[\overset{b}{\boxed{L_{f_y} = 400\frac{kcal}{kg}}}\]