Ejercicio de exámen. 2015. Inmersión o profundidad.

En la figura se representa la Presión en atmósferas, en función de la profundidad, en metros, para un líquido desconocido en reposo.

• ¿Qué densidad tiene el líquido?
• ¿Qué distancia hay que bajar en ese líquido para registrar un aumento de presión de \(20\) mmHg?
  La denisdad la encontramos en la ecuación de la presión relativa o manométrica:
  \[P_{rel}= \delta \cdot g \cdot h\]
  Y como se trata de diferentes profundidades y, hay diferencias de presión:
  \[\Delta P = P_f - P_i= 0,4 \, atm - 0,1 \, atm = 0,3 \, atm\] \[\Delta h = h_f - h_i = 6 \, m - 0 \, m = 6 \, m\]
  \[P_{rel}= \delta \cdot g \cdot h \quad \rightarrow \quad \Delta P = \delta \cdot g \cdot \Delta h \quad \rightarrow \quad P_f - P_i= \delta \cdot g \cdot (h_f-h_i)\]
  Despejamos la densidad de la ecuación:
  \[\delta = \dfrac{ P_f - P_i}{g \cdot (h_f-h_i)} \; \rightarrow \; \delta = \dfrac{0,3 \, atm}{g \cdot 6 \, m} \; \rightarrow \; \delta = \frac{0,3 (101300\, Pa)}{10 \, m.s^{-2} \cdot 6 \, m} \cdots\]
  \[\cdots \rightarrow \; \delta = \dfrac{30390 \, Pa}{60 \, m.s^{-2}}\, \therefore \, \boxed{\delta = 506,5 \, kg.m^{-3}}\]
  La distancia que hay que bajar la buscamos con la misma ecuación despejando la distancia (h), con la nueva diferencia de presión \(20\) mmHg:
  \[h = \dfrac{\Delta P}{\delta \cdot g} \, \rightarrow \, h=\dfrac{20 \, mmHg}{(506,5 \cdot 10) \, Pa.m^{-1} } \, \rightarrow \, h= \dfrac{20 \cdot\frac{101300}{760} \cancel{Pa}}{5065 \cancel{Pa}} \cdot m \, \rightarrow \cdots\] \[\cdots \rightarrow \, h= \dfrac{2665,8}{5065} \,m \, \rightarrow \, \boxed{h= 0,53 \, m}\]
  \[\therefore \, P= 20\, mmHg \, \Rightarrow h= 0,53 \, m\]

Ejercicio de exámen. 2010-2009

Una bomba hidráulica alimenta un circuito construido por el paralelo de dos tubos cilíndricos diferentes. Se sabe que uno de los tubos consume \(0,2\) watt de potencia, y que la resistencia hidrodinámica del otro tubo es la mitad que la resistencia del primero. Entonces, la potencia entregada por la bomba es:

• 1 watt
• 8 watt
• 0,2 watt
• 0,4 watt
• 0,6 watt
• 4 watt

La clave para mí es la última oración la potencia entregada por la bomba, y que el tubo consume:
Datos:

1. \(Pot_{1}= 0,2\, watt\)
2. Es un circuito cerrado.
3. \(R_2= \dfrac{R_1}{2} \; \wedge \; 2R_2= R_1\)

Las ecuaciones:
\[Pot_{entregada}= Pot_1 + Pot_2\] \[\Rightarrow \quad \Delta P_1 = \Delta P_2\] \[\therefore \quad Pot= \dfrac{\left(\Delta P \right)^2}{R}\]
Evaluando:
\[Pot_1= \dfrac{\left(\Delta P \right)^2}{R_1} \quad \wedge \quad Pot_2= \dfrac{\left(\Delta P \right)^2}{R_2}\] \[Pot_1 \cdot R_1= \left(\Delta P \right)^2 \quad \wedge \quad Pot_2 \cdot R_2 = \left(\Delta P \right)^2\]
\[\Rightarrow \; Pot_1 \cdot R_1= Pot_2 \cdot R_2\] \[\Rightarrow \; Pot_1 \cdot 2R_2= Pot_2 \cdot R_2\]
Cancelo lo que no necesito más, y reemplazo:
\[\Rightarrow \; Pot_1 \cdot 2 \cdot \cancel{R_2}= Pot_2 \cdot \cancel{R_2} \quad \Rightarrow \; 0,2\, watt \cdot 2 = Pot_2\]
\[ \therefore \; Pot_2= 0,4\, watt\]
\[\Rightarrow \quad \boxed{Pot_{entregada}= 0,6 \, watt}\]

Fuente del ejercicio: cbcbiofisica.blogspot.com.ar

Ejercicio muy parecido desarrollado por el Profesor Ricardo Cabrera. 

Cuatro conductos cilíndricos. Ejercicio de exámen 2011

Cuatro conductos cilindricos identicos de radio r, estan conectados en paralelo. Por ellos circula un fluido viscoso con caudal total Q cuando la diferencia de presion entre sus extremos es \(\Delta P\). Si se reemplaza los cuatro conductos por uno solo de la misma longitud y radio interior 4r, para mantener el mismo caudal, la nueva diferencia de presion es:

• \(\dfrac{\Delta P}{16}\)

• \(\dfrac{\Delta P}{4}\)

• \(\dfrac{\Delta P}{256}\)

• \(4\cdot \Delta P\)

• \(\dfrac{\Delta P}{64}\)

• \(16 \cdot \Delta P\)

Entonces las longitudes L o \(\Delta x\) de los conductos es igual en todos los casos.

La diferencia está en los radios. Para el conducto que vamos a poner, es radio \(4 r\). Por lo que tomamos la ecuación: \[R_h=\dfrac{8 \pi \eta \Delta x}{S^2}\] Recordando que la Sección es, para cada caso:

\[S_1= \pi \cdot r^2 \quad \wedge \quad S_2= \pi \cdot (4r)^2\]

Entonces reemplazamos en la ecuación de resistencia hidrodinámica, teniendo en cuenta que todo lo que esta en el numerador es constante, se reemplaza por una letra cualquiera, yo lo hago ahora por L:

\[R_{h_2}=\dfrac{L}{S^2} \quad \Rightarrow \quad R_{h_2}=\dfrac{L}{(\pi 16 r^2)^2} \quad \Rightarrow \quad R_{h_2}= \dfrac{L}{16^2 S^2}\]

\[\therefore \; R_{h_2}= \dfrac{L}{256 S^2} \quad \Rightarrow \quad \boxed{256 R_{h_2}=\dfrac{L}{S^2}}\]

Los conductos del primer caso están en paralelo por lo que obtenemos:

\[R_{eq_1}=\dfrac{R}{4}\]

Por Poiseuille:

\[\Delta P_1= \dfrac{R_h}{4}\cdot Q\]

Entonces reemplazamos en ésta ecuación la resistencia obtenida (recuadro) para obtener la nueva diferencia de presión:

\[\Delta P_2= \dfrac{256 R_{h_2}}{4} \cdot Q \quad \Rightarrow \quad \Delta P_2= 64R_{h_2} \cdot Q\]

\[\therefore \quad \dfrac{\Delta P }{64}=R_{h_2} \cdot Q \quad \boxed{\textsf{Opción 5}}\]

Ejercicio 21. Fluidos.

Cuando se establece una diferencia de presión de 0,5 atm entre los extremos de cierto tubo recto de sección circular, fluye agua (coeficiente de viscosidad 1 cp) a razón de 30 litros por minuto. ¿Cuál sería el caudal si se reemplazara el caño por otro cuya longitud y diámetro son el doble que los del anterior, sin modificar la diferencia de presión?

Datos constantes:

\[\Delta P = 0,5\, atm\] \[\eta=1\,cp\]

Datos útiles para el tubo B, longitud y diámetro:

\[L_B=2\cdot L_A \quad \wedge \quad d_B= 2 \cdot d_A\]

Caudal tubo A:

\[Q_A=30\frac{lt}{min}\]

Ecuación del Caudal:

\[Q_A= A\cdot \overset{\rightarrow}{v}\]

Recordando que el área \(A\) es la sección de la ecuación de resistencia hidrodinámica, y que está claro que es doble en todo:

\[A=S_A=\dfrac{\pi (d)^2}{4} \quad \wedge \quad B=2A \Rightarrow B=2 \left(\dfrac{\pi (2d)^2}{4}\right) \quad\]

\[A=S_A=\dfrac{\pi (d)^2}{4} \quad \wedge \quad B=2A \Rightarrow B=8 \left(\dfrac{\pi d^2}{4}\right) \quad\]

Entonces: \[S_B=8\cdot S_A\]

En la ecuación de cuadal:

\[Q_B=8\cdot Q_A\] \[Q_B=8 \cdot 30 \frac{lt}{min} \quad \therefore \quad Q_B=240\frac{lt}{min}\]

Un ejercicio de Fluidos!! Hidrodinámica.

Una cañería por donde circula un fluido viscoso está formado por dos caños rectos colocados en paralelo de la misma longitud L y mismo material de sección \(6 cm^2\) y \(8 cm^2\). Se desea reemplazar por un caño de longitud L. ¿Cuál debe ser la sección del nuevo caño para que de la misma Rh que el conjunto reemplazado?

• \( 2 cm^2 \)

• \( 7 cm^2 \)

• \( 10 cm^2 \)

• \( 14 cm^2 \)

• \( 24 cm^2 \)

• \( 4 cm^2 \)

Ecuación de la resistencia hidrostática: \[R_h=\dfrac{8\eta L}{\pi r^4}\]

Como el ejercicio menciona tanto la sección y la ecuación aparentemente no refiere directamente a la sección, averiguando encontré que la sección es el denominador de la ecuación al cuadrado: \[\pi r^4=S^2\]

Entonces la ley de Poiseuille en términos del área de la sección transversal: \[R_h=\dfrac{8\cdot\eta\cdot\pi\cdot L}{S^2}\]

Tambíen es constante el numerador usando ésta ecuación, ya que también todas las longitudes L son iguales.

Todas las secciones S tienen constantes, como Resistencias el numerador \(8\eta L\), que entonces puede sustituirse (yo lo hago por C). Entonces queda:

\[R_h=\dfrac{C}{S^2}\]

Resolvemos en paralelo:

Secciones

• \(a= \; 6\,cm^2\)

• \(b= \; 8\,cm^2\)

\[R_a=\dfrac{C}{S^2}_a \quad \wedge \quad R_b=\dfrac{C}{S^2}_b\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{1}{R_a}+\dfrac{1}{R_b}\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{1}{\frac{C}{\left(6cm^2\right)^2}} + \dfrac{1}{\frac{C}{\left(8cm^2\right)^2}}\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{1}{\frac{C}{36cm^4}} + \dfrac{1}{\frac{C}{64cm^4}}\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{36cm^4}{C} + \dfrac{64cm^4}{C}\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{100cm^4}{C}\]

\[R_{eq}=R_h \, \Rightarrow \, R_{eq}=\dfrac{C}{S^2}_{eq}\]

Sustituyendo:

\[\dfrac{1}{\frac{C}{S^2}_{eq}}=\dfrac{100cm^4}{C}\]

\[\dfrac{S^2_{eq}}{\cancel{C}}=\dfrac{100cm^4}{\cancel{C}}\]

\[S^2_{eq}=100\,cm^4\]

\[S_{eq}=\sqrt{100\,cm^4} \quad \therefore \quad \boxed{S_{eq}=10\,cm^2} \quad \boxed{\textsf{Opción c}}\]

Ahora como lo estabamos haciendo en clase también se llega pero haciendo sustitución:

\[\dfrac{1}{R_t}=\dfrac{1}{\frac{8\eta L}{\pi r^4}}+\dfrac{1}{\frac{8\eta L}{\pi r^4}}\]

\[\dfrac{1}{R_t}= \dfrac{ \pi (r^4_1 + r^4_2)}{8 \eta L}\]

\[\dfrac{1}{\frac{8\eta L}{\pi r^4_t}}= \dfrac{\pi (r^4_1 + r^4_2)}{8 \eta L}\]

\[\dfrac{\pi r^4_t}{8 \eta L}= \dfrac{\pi (r^4_1 + r^4_2)}{8 \eta L}\]

Se cancela todo lo que es igual de ambos lados:

\[\dfrac{\xcancel{\pi} r^4_t}{\bcancel{8 \eta L}}= \dfrac{\xcancel{\pi} (r^4_1 + r^4_2)}{\bcancel{8 \eta L}}\]

\[r^4_t=r^4_1 + r^4_2\]

Entonces hago una sustitución: \(r^4 = r^2\), e ingreso las secciones dadas.

\[r^2_t=r^2_1 + r^2_2\]

\[r^2_t=(6cm^2)^2 + (8cm^2)^2\]

\[r^2_t= 100cm^4\]

\[r_t= \sqrt{100cm^4}\]

\[\boxed{r_t= 10 cm^2}\]