Termodinámica, evolución de un sistema en dos etapas.

Un sistema evoluciona en dos etapas. Primero aumenta su volumen a presión constante y después disminuye su presión a volumen constante. El estado final tiene menos energía interna que el inicial. ¿Cuál de las siguientes opciones para el calor y el trabajo intercambiados por el sistema es la que puede corresponder a esa evolución?

CALOR(kcal)	TRABAJO(kcal)
Recibe 400	Entrega 300
Recibe 100	Entrega 100
Recibe 200	Entrega 300
Recibe 400	Recibe 300
Entrega 200	Recibe 300
Recibe 300	Recibe 400

Inicio:

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Primera etapa:

Al inicio recibe calor, y hay una transformación del volumen realizado por un trabajo del sistema.

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Segunda etapa:

En esta etapa el volumen es constante, por lo tanto el sistema no hace ni recibe trabajo. La única variación es de la presión, por lo que varió la temperatura del sistema. En una evolución isocórica se da:
\[\Delta U = Q \quad \wedge \quad \Delta U = C_v \cdot m \cdot \Delta T\]
\[\Delta T = T_f - T_i \; \wedge \; T_i > T_f \; \Rightarrow \; \Delta T < 0 \; \Rightarrow \; \Delta U < 0\]

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Esto último lo confirma el enunciado cuando afirma que la energía final interna del sistema es menor que la inicial.
\[ \Delta U = U_f - U_i \; \wedge \, U_i > U_f \; \Rightarrow \Delta U < 0\]
\[ Si \, \Delta U < 0 \; \Rightarrow \; Q - L_{sistema} < 0\]
\[ \therefore \; Q(+) < L_{sistema}(-)\]
Entonces la opción que cumple con esto es la tercera.

MRUV. Ejercicio de opción multiple a partir de un gráfico de aceleración.

Un bloque de 1000 kg (que inicialmente se encuentra en reposo) es elevado por una grúa hasta una cierta altura "h”. El gráfico representa la aceleración que experimenta el bloque en función del tiempo para todo el viaje. Entonces el bloque se ha desplazado:

1. 4 m en los primeros 4 segundos

2. 4 m en los últimos 4 segundos

3. 80 m en los 20 seg. de viaje

4. 20 m en los primeros 7 seg. de viaje

5. 28 m en los últimos 7 seg. de viaje

6. 20 m en los 20 seg. de viaje

Analizamos el gráfico primero sin fórmulas. Lo que se ve primero es que está dividido en tres tramos de aceleración.

• Primer Tramo, vemos la \(\overset{\rightarrow}{a}=1\frac{m}{s^2}\) y el \(\Delta t=4\,s\), entonces se puede encontrar la velocidad y el desplazamiento.

• Segundo Tramo, la \(\overset{\rightarrow}{a}=0\) y el \(\Delta t=12\,s\), no hay aceleración pero sí un intervalo de 12 segundos, y en este tramo llega con la velocidad del tramo anterior y no varía durante todo el intervalo (12 s.). En este tramo la velocidad y el desplazamiento es deducible. Hay M.R.U.

• Tercer Tramo, econtramos otra vez la aceleración constante y de distinto signo. Está frenando.

1. Primer Tramo: \[\overset{\rightarrow}{a}_1=\dfrac{\Delta \overset{\rightarrow}{v}_1}{\Delta t_1}\quad \Rightarrow \quad \Delta \overset{\rightarrow}{v}_1 = \overset{\rightarrow}{a}_1 \cdot \Delta t_1 \quad \Rightarrow \quad \Delta \overset{\rightarrow}{v}_1 = 1\frac{m}{s^2} \cdot 4\,s\] \[\therefore \quad \overset{\rightarrow}{v}_1=4\frac{m}{s}\] El desplazamiento, se nesecita la velocidad inicial y final, la final ya se obtuvo y la inicial la deducimos del enunciado “reposo”.

   \[\Delta x_1=\dfrac{\overset{\rightarrow}{v}^2_1- \overset{\rightarrow}{v}^2_0}{2\cdot a_1}\quad \Rightarrow \quad \Delta x_1=\dfrac{4^2\,m^2 \cdot s^{-2} - 0}{2\cdot 1\,m\cdot s^{-2}}\] \[\therefore \Delta x_1= 8 \, m\]

2. Segundo Tramo:

   \[\Delta x_2= x_2 -x_1 \quad \Rightarrow \; \Delta x_2 = x_2 - 8 \, m\]

   \[\overset{\rightarrow}{v}_m= \dfrac{\Delta x_2}{\Delta t_2} \quad \Rightarrow \quad \Delta x_2 = \overset{\rightarrow}{v}_m \cdot \Delta t_2 \quad \Rightarrow \quad x_2 - 8 \,m = 4\,\frac{m}{s}\cdot 12 \,s \quad \Rightarrow \cdots\]

   \[\cdots \Rightarrow \quad x_2= 48\, m + 8 \, m \quad \Rightarrow \quad x_2=56 \, m\]

3. Tercer Tramo:

   \[\overset{\rightarrow}{v}_2= \overset{\rightarrow}{v}_3 = \overset{\rightarrow}{v}_i\]

   Velocidad final:

   \[\overset{\rightarrow}{v}_f= \overset{\rightarrow}{v}_2 + \overset{\rightarrow}{a}_3 \cdot \Delta t \quad \Rightarrow \quad \overset{\rightarrow}{v}_f= 4\frac{m}{s}+ (-1)\frac{m}{s^2} \cdot 4s \quad \Rightarrow \quad \overset{\rightarrow}{v}_f=0\]

   \[\Delta x_3=\dfrac{\overset{\rightarrow}{v}^2_4 - \overset{\rightarrow}{v}^2_3}{2a}\quad \wedge \, \overset{\rightarrow}{v}_4=\overset{\rightarrow}{v}_f=0\]

   \[\Rightarrow \quad \Delta x_3= \dfrac{0-\left(4\,m\cdot s^{-1}\right)^2}{-2\, m \cdot s^{-2} }\quad \Rightarrow \quad \Delta x_3= 8 \, m\]

   \[\therefore \; \Delta x_3 = x_3 - x_2 \quad \Rightarrow \quad x_3 - x_2 = 8m \quad \Rightarrow \cdots\]

   \[\cdots \Rightarrow \quad x_3 = 8 \, m + x_2 \quad \Rightarrow \quad x_3 = 8 \, m + 56 \, m \quad \Rightarrow \quad x_3 = 64 \, m\]

   \[\Delta x_{Total}= x_3 = 64\, m\]

Entonces ya podemos descartar opciones, 1 2 3 y las dos últimas. Solo queda la cuarta que nos dice que recorrió 20 m en siete segundos.

Sabemos que los primeros 4 segundos recorre 8 m, nos quedan 3 segundos, que son recorridos a razón de 4 m cada segundo, entonces:

\[d_{(0s,7s)}= 8 \,m + \left(4\, m\cdot s^{-1} \cdot 3 \, s\right)= 8 \, m + 12 \, m = 20 \,m\]

Ejercicio de MRUV.

+

A partir del gráfico:

• Calcular la distancia recorrida y representarla en función del tiempo.

• Calcular la potencia instantánea a los cinco segundos (m= 2 kg).

La distancia puede calcularse por la suma de las áreas debajo de las rectas. Y también con ecuación: \[\Delta x= \dfrac{\overset{\rightarrow}{v}^2_{f}- \overset{\rightarrow}{v}^2_i}{2 \cdot a}\]

Para ésta ecuación se necesita encontrar la aceleración, para cada tramo:

\[a_{m} = \dfrac{\Delta \overset{\rightarrow}{v}}{\Delta t}\]

1. Tramo 1 \[a_{m} = \dfrac{\Delta \overset{\rightarrow}{v}}{\Delta t} \quad \Rightarrow \quad a_1= \dfrac{0 - 20 \,m\cdot s^{-1}}{2 \, s} \quad \Rightarrow \quad a_1= -10 \cdot \frac{m}{s^2}\]

2. Tramo 2 \[a_{m} =\dfrac{\Delta \overset{\rightarrow}{v}}{\Delta t} \quad \Rightarrow \quad a_2= \dfrac{10\, m\cdot s^{-1}-0}{2\,s} \quad \Rightarrow \quad a_2= 5\cdot \dfrac{m}{s^2}\]

Las distancias:

1. Recorrido 1 \[\Delta x_1= \dfrac{\overset{\rightarrow}{v}^2_{f}- \overset{\rightarrow}{v}^2_i}{2 \cdot a_1}\] \[\Rightarrow \quad \Delta x_1=\dfrac{0- (20\,m\cdot s^{-1})^2}{2\cdot (-10)m\cdot s^{-2}}\quad \Rightarrow \Delta x_1=\dfrac{(-\overset{20}{\cancel{400}})\,m^{\bcancel{2}}\cdot \xcancel{s^{-2}}}{ (-\underset{1}{\cancel{20}})\bcancel{m}\cdot \xcancel{s^{-2}}}\quad \Rightarrow \Delta x_1=20\,m\]

2. Recorrido 2 \[\Delta x_2= \dfrac{\overset{\rightarrow}{v}^2_{f}- \overset{\rightarrow}{v}^2_i}{2 \cdot a_2}\] \[\Rightarrow \quad \Delta x_2=\dfrac{ (10\,m\cdot s^{-1})^2-0}{2\cdot 5\,m\cdot s^{-2}}\quad \Rightarrow \Delta x_2=\dfrac{ \overset{10}{\cancel{100}} \,m^{\bcancel{2}}\cdot \xcancel{s^{-2}}}{ \underset{1}{\cancel{10}}\bcancel{m}\cdot \xcancel{s^{-2}}}\quad \Rightarrow \Delta x_2=10\,m\]

Gráfico del desplazamiento:

\[\Delta x_T= \Delta x_1 + \Delta x_2 = 20 \,m + 10 \,m = 30\,m\]

Potencia instantánea a los cinco segundos:

\[Pot=\dfrac{L}{\Delta t}\quad \Rightarrow Pot=\dfrac{\Delta E_m}{\Delta t}\quad \Rightarrow Pot=\dfrac{\overset{0}{\xcancel{\Delta E_p}} + \Delta E_c}{\Delta t} \quad \Rightarrow Pot=\dfrac{\Delta E_c}{\Delta t}\]

La potencia es instantánea por lo que será sólo en ese momento:

\[Pot_{inst}=\dfrac{E_c}{t}\quad \Rightarrow Pot_{inst}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot m \cdot (\overset{\rightarrow}{v})^2}{t}\quad \Rightarrow Pot_{inst}=\dfrac{1}{2} \cdot 2\,kg(5\,m\cdot s^{-1})^2 : 5\,s\] \[\Rightarrow \quad Pot_{inst}= \dfrac{25\, J}{5\, s} \quad \Rightarrow Pot_{inst}= 5\,W\]

Ejercicio de Fluido Real.

Un fluido real circula por un tubo cilíndrico horizontal “1” de sección \(S_{\tiny{1}}\) con velocidad \(\overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}}= 4 \,cm \cdot s^{-1}\) en regimen laminar. El tubo ”1“ se bifurca en dos tubos ”2” y "3” también horizontales de secciones \( S_{\tiny{2}} = S_{\tiny{3}} = \frac{S_{\tiny{1}}}{3}\). Los tres tubos tienen la misma longitud.

• Calcular la velocidad del fluido por el tubo "2”.

• Si la caída de presión a lo largo del tubo “1” es \(\Delta P_{\tiny{1}}= 1000 \, Pa\), hallar la caida de presión \(\Delta P_{\tiny{2}}\) a lo largo del tubo ”2”.

Lo que sabemos:

\[S_{\tiny{2}}=S_{\tiny{3}}= \frac{S_{\tiny{1}}}{3} \; \rightarrow \; S_{\tiny{1}}= 3 \cdot S_{\tiny{2}} = 3 \cdot S_{\tiny{3}}\]

\[Q_{\tiny{2}}=Q_{\tiny{3}} \, \rightarrow \, Q_{\tiny{2}} + Q_{\tiny{3}} = Q_t\] \[Q_1= \Sigma Q_{\tiny{2,3}} \, \rightarrow \, Q_{\tiny{1}} = Q_t \quad \therefore \, Q_{\tiny{2}}= \dfrac{Q_{\tiny{1}}}{2} \; \wedge \; Q_3= \dfrac{Q_{\tiny{1}}}{2}\] \[L_{\tiny{1}}= L_{\tiny{2}}=L_{\tiny{3}}\]

La continuidad en el caño "2”:

\[Q_{\tiny{1}} = S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}} \quad \wedge \quad Q_{\tiny{2}}= S_{\tiny{2}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}}\]

\[S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}} = S_{\tiny{2}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_2\] \[\rightarrow \quad Q_{\tiny{2}}= \dfrac{Q_{\tiny{1}}}{2} \, ; \quad \rightarrow \quad \dfrac{S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}}}{2} = S_{\tiny{2}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}}\] \[\rightarrow \quad \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}} = \dfrac{S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}}}{2 \cdot S_{\tiny{2}}}\]

Reemplazo:

\[\overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}} = \dfrac{ S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_1}{2 \cdot S_{\tiny{2}}} \; \rightarrow \, \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}} = \dfrac{ 3 \cdot \cancel{S_{\tiny{2}}} \cdot 0,04 \, m \cdot s^{-1}}{2 \cdot \cancel{S_{\tiny{2}}}} \; \rightarrow \; \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}} = 0,06 \, m \cdot s^{-1}\]

Segunda cuestión, por Poiseuille:

\[\Delta P= Q \cdot R_h \; ; \quad \wedge \; R_h= \dfrac{8 \cdot \pi \cdot \eta \cdot L}{S^2}\]

Como es un fluido real, sabremos que si disminuye el radio entonces aumenta la resistencia hidrodinámica y también aumenta la diferencia de presión, por lo que las resistencias hidrodinámicas de “2” y ”3” son mayores que en "1”. Además todas las longitudes son iguales, en la resistencia hidrodinámica es constante el numerador, reemplazo con C.

\[\Delta P_{\tiny{1}}=1000 \,Pa \; \wedge \; \Delta P_{\tiny{1}}= Q_{\tiny{1}} \cdot R_{\tiny{1}} \; \wedge \; \Delta P_{\tiny{1}}= Q_{\tiny{1}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{1}}}\]

Caño "2”: \[\Delta P_{\tiny{2}}= Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{2}}}\] Planteo: \[Q_{\tiny{1}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{1}}} = Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{2}}}\]

Recordando que:

\[Q_{\tiny{1}} =2 \cdot Q_{\tiny{2}} \quad \wedge \quad S_{\tiny{1}} = 3 \cdot S_{\tiny{2}}\] \[\rightarrow \quad Q_{\tiny{1}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{1}}} = 2 \cdot Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{C}{3 \cdot S^2_{\tiny{2}}}\] \[\rightarrow \quad Q_{\tiny{1}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{1}}} = \dfrac{2}{3} \cdot Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{2}}}\]

\[\rightarrow \; 1000 \, Pa= \dfrac{2}{3} \cdot Q_2 \cdot \dfrac{ C}{S^2_{\tiny{2}}}\] \[\rightarrow \; 1000 \, Pa \cdot \dfrac{3}{2} = Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{ C}{S^2_{\tiny{2}}}\] \[\rightarrow \; \Delta P_{\tiny{2}} = 1500 \, Pa\]

Ejercicio de dinámica, móvil de 2000 kg.

Un movil de 2000 kg. se desplaza con velocidad constante 20 \(\tfrac{m}{s}\) durante 10 segundos. En ese instante se aplica sobre él una fuerza de 1000 N en sentido contrario al desplazamiento, hasta que se detiene.

• Calcular el tiempo que tarda en detenerse desde que se aplicó la fuerza.

Datos primer tramo:	Datos segundo tramo:
móvil = 2000 kg \(\overset{\rightarrow}{v}= 20 \frac{m}{s}\) \(\Delta t_1= 10\, s\)	\(\overset{\rightarrow}{F}_{\tiny{freno}}= 1000 \, N\) \(\overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{f}} = 0\) \(\Delta t= ? \)

Ovbiamente el móvil está frenando, poco pero frenando. Y solo tenemos la fuerza que ejerce ese frenado. Entonces inferimos que el desplazamiento continua con alguna aceleración de frenado (-).
Planteo un DCL:


Segunda ley:

En el eje y no hay aceleración:	En el eje x hay aceleración:
\[\Sigma \overset{\rightarrow}{F}_y= m\cdot \overset{\rightarrow}{a}_y\] \[\Sigma \overset{\rightarrow}{F}_y=0\] \[\overset{\rightarrow}{N} - \overset{\rightarrow}{P} = 0\] \[\overset{\rightarrow}{N} = \overset{\rightarrow}{P}\] \[\overset{\rightarrow}{N} = m \cdot g\] \[\overset{\rightarrow}{N} = 20000 \, N\]	\[\Sigma \overset{\rightarrow}{F}_x= m\cdot \overset{\rightarrow}{a}_x\] \[-\overset{\rightarrow}{F}_{\tiny{freno}} = m \cdot \overset{\rightarrow}{a}_x\] \[-1000 \, N = 2000 \, kg \cdot \overset{\rightarrow}{a}_x\] \[\overset{\rightarrow}{a}_x = -\dfrac{1000 \, N}{2000 \, kg}\] \[\overset{\rightarrow}{a}_x = - 0,5 \dfrac{m}{s^2}\]

Entonces de la ecuación horaria de velocidad, obtengo el tiempo:

\[\overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{f}} = \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{i}} + \overset{\rightarrow}{a} \cdot \Delta t \quad \Rightarrow \quad \Delta t_2 = \dfrac{\overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{f}} - \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{i}}}{\overset{\rightarrow}{a}}\]
Reemplazando: \[\Delta t_2= 0 - \dfrac{20 \frac{m}{s}}{-0,5 \frac{m}{s^2}} \quad \therefore \quad \Delta t_2= 40 \, s\]