Ejercicio de Fluido Real.

Un fluido real circula por un tubo cilíndrico horizontal “1” de sección \(S_{\tiny{1}}\) con velocidad \(\overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}}= 4 \,cm \cdot s^{-1}\) en regimen laminar. El tubo ”1“ se bifurca en dos tubos ”2” y "3” también horizontales de secciones \( S_{\tiny{2}} = S_{\tiny{3}} = \frac{S_{\tiny{1}}}{3}\). Los tres tubos tienen la misma longitud.

• Calcular la velocidad del fluido por el tubo "2”.

• Si la caída de presión a lo largo del tubo “1” es \(\Delta P_{\tiny{1}}= 1000 \, Pa\), hallar la caida de presión \(\Delta P_{\tiny{2}}\) a lo largo del tubo ”2”.

Lo que sabemos:

\[S_{\tiny{2}}=S_{\tiny{3}}= \frac{S_{\tiny{1}}}{3} \; \rightarrow \; S_{\tiny{1}}= 3 \cdot S_{\tiny{2}} = 3 \cdot S_{\tiny{3}}\]

\[Q_{\tiny{2}}=Q_{\tiny{3}} \, \rightarrow \, Q_{\tiny{2}} + Q_{\tiny{3}} = Q_t\] \[Q_1= \Sigma Q_{\tiny{2,3}} \, \rightarrow \, Q_{\tiny{1}} = Q_t \quad \therefore \, Q_{\tiny{2}}= \dfrac{Q_{\tiny{1}}}{2} \; \wedge \; Q_3= \dfrac{Q_{\tiny{1}}}{2}\] \[L_{\tiny{1}}= L_{\tiny{2}}=L_{\tiny{3}}\]

La continuidad en el caño "2”:

\[Q_{\tiny{1}} = S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}} \quad \wedge \quad Q_{\tiny{2}}= S_{\tiny{2}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}}\]

\[S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}} = S_{\tiny{2}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_2\] \[\rightarrow \quad Q_{\tiny{2}}= \dfrac{Q_{\tiny{1}}}{2} \, ; \quad \rightarrow \quad \dfrac{S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}}}{2} = S_{\tiny{2}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}}\] \[\rightarrow \quad \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}} = \dfrac{S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}}}{2 \cdot S_{\tiny{2}}}\]

Reemplazo:

\[\overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}} = \dfrac{ S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_1}{2 \cdot S_{\tiny{2}}} \; \rightarrow \, \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}} = \dfrac{ 3 \cdot \cancel{S_{\tiny{2}}} \cdot 0,04 \, m \cdot s^{-1}}{2 \cdot \cancel{S_{\tiny{2}}}} \; \rightarrow \; \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}} = 0,06 \, m \cdot s^{-1}\]

Segunda cuestión, por Poiseuille:

\[\Delta P= Q \cdot R_h \; ; \quad \wedge \; R_h= \dfrac{8 \cdot \pi \cdot \eta \cdot L}{S^2}\]

Como es un fluido real, sabremos que si disminuye el radio entonces aumenta la resistencia hidrodinámica y también aumenta la diferencia de presión, por lo que las resistencias hidrodinámicas de “2” y ”3” son mayores que en "1”. Además todas las longitudes son iguales, en la resistencia hidrodinámica es constante el numerador, reemplazo con C.

\[\Delta P_{\tiny{1}}=1000 \,Pa \; \wedge \; \Delta P_{\tiny{1}}= Q_{\tiny{1}} \cdot R_{\tiny{1}} \; \wedge \; \Delta P_{\tiny{1}}= Q_{\tiny{1}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{1}}}\]

Caño "2”: \[\Delta P_{\tiny{2}}= Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{2}}}\] Planteo: \[Q_{\tiny{1}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{1}}} = Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{2}}}\]

Recordando que:

\[Q_{\tiny{1}} =2 \cdot Q_{\tiny{2}} \quad \wedge \quad S_{\tiny{1}} = 3 \cdot S_{\tiny{2}}\] \[\rightarrow \quad Q_{\tiny{1}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{1}}} = 2 \cdot Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{C}{3 \cdot S^2_{\tiny{2}}}\] \[\rightarrow \quad Q_{\tiny{1}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{1}}} = \dfrac{2}{3} \cdot Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{2}}}\]

\[\rightarrow \; 1000 \, Pa= \dfrac{2}{3} \cdot Q_2 \cdot \dfrac{ C}{S^2_{\tiny{2}}}\] \[\rightarrow \; 1000 \, Pa \cdot \dfrac{3}{2} = Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{ C}{S^2_{\tiny{2}}}\] \[\rightarrow \; \Delta P_{\tiny{2}} = 1500 \, Pa\]