Calorimetría \(H_2O_{hielo \rightarrow \, agua}\), y un poco de entropía

• ¿Qué masa de hielo a \(0^{\circ}C\) sumergida en un litro de \(H_2O\) a \(60^{\circ}C\), en un recipiente adiabático y de calor específico despreciable, es necesaria para que el equilibrio térmico se alcance cuando la temperatura dentro del recipiente sea \(10^{\circ}C\)?

• ¿Qué viariación de entropía sufre el litro de \(H_2O\) en el proceso?

Averiguamos cuánto calor entrega el agua:

\[Q_{H_2O(l)}=m \cdot c_e \cdot \Delta T \; \wedge \, \Delta T = 10^{\circ}C-60^{\circ}C \; \therefore \, \Delta T = -50^{\circ}C\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(l)}= 1000g \cdot 1\frac{cal}{g \cdot {^{\circ}C}} \cdot (-50^{\circ}C)\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(l)}= -50000cal\]

El gráfico resume bastante lo que se sabe hasta ahora, para que el equilibrio suceda a los \(10^{\circ}C\) el hielo en algun punto se derritió completamente, además que entró en la mezcla a \(0^{\circ}C\).

\[\Sigma Q = 0\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(s)}+Q_{H_2O(l)}= 0\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(s)}+ (-50000\, cal)= 0\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)} = 50000\, cal\]

Ya se puede calcular la masa de hielo:

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}=Q_{H_2O (s)(0^{\circ}C)} + Q_{H_2O(l)(0^{\circ}C \rightarrow \, 10^{\circ}C)}\]

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)} = (L_f \cdot m ) + (c_e \cdot m \cdot \Delta T)\]

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= \left(80 \frac{cal}{g} \cdot m \right) + \left(1\frac{cal}{g \cdot {^{\circ}C}} \cdot m \cdot (10^{\circ}C - 0^{\circ}C) \right)\]

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= 80 \frac{cal}{g} \cdot m + 10\frac{cal}{g} \cdot m\]

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= 90 \frac{cal}{g} \cdot m\]

Reemplazo otra vez:

\[50000\, cal= 90 \frac{cal}{g} \cdot m\]

\[\Rightarrow \; m_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= \dfrac{50000\, cal}{90\, cal} \cdot g\]

\[\Rightarrow \; m_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= 555,55\, g\]

Ya así se puede calcular cuántas calorias fundieron toda la masa de hielo y cuántas calorías absorvió para llegar a la temperatura de equilibrio:

\[Q_{H_2O(l)}= 1\frac{cal}{g \cdot {^{\circ}C}} \cdot 555,55\, g \cdot 10^{\circ}C\]

\[Q_{H_2O(l)}= 5555\, cal\]

Entonces las calorías que fundieron al hielo son:

\[Q_{H_2O(s)}=-50000cal + 5555,5 \, cal\]

\[Q_{H_2O(s)}=-44444,5\, cal\]

\[\wedge \; L_f \cdot m_{H_2O(s)}=44444\, cal\]

Punto b:

Considero una evolución isobárica a presión constante, entonces:

\[\Delta S = c_p \cdot m \cdot ln\left(\frac{T_f}{T_i} \right)\]

\[c_{p_{agua}}=1\frac{kcal}{kg \cdot K}\]

\[\Rightarrow \; \Delta S_{agua} = 1\frac{kcal}{kg \cdot K} \cdot 1\, kg \cdot ln \left(\frac{283 \, K}{333 \, K} \right)\]

\[\Rightarrow \; \Delta S_{agua} = -0,16 kcal \cdot K^{-1}\]

Variación de entropía del hielo:

\[\Delta S_{hielo}= \dfrac{Q}{T} + c_{p_{hielo \rightarrow \,agua}} \cdot m \cdot ln \left( \dfrac{T_f}{T_i} \right)\]

Calorímetro con dos sólidos. Calorimetría. (igualito al anterior)

El gráfico representa la temperatura en función del calor intercambiado para una muestra de un kilogramo de un material X que se encuentra en estado sólido. En un calorímetro se coloca la muestra X a \(400^{\circ}C\) y junto con 2 kilogramos de una muestra de otro material Y a \(300^{\circ}C\) en estado sólido que tiene un calor específico \(1,5\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}}\) y una temperatura de fusión \(450^{\circ}C\).

• ¿Cuál es la temperatura de equilibrio?

• Se coloca en el calorímetro un kilo de sólido X a temperatura \(500^{\circ}C\) y un kilo de sólido Y a la temperatura de fusión. Al llegar al equilibrio se fundió la mitad del material Y ¿cuál es el calor latente de fusión de Y?

Primer planteo gráfico:

En los \(340^{\circ}C\) hay una intersección, por lo que comienzo el planteo acá.

El calor específico de X:

\[Q=C \cdot \Delta T \; \Rightarrow \; C= \dfrac{Q}{\Delta T} \; \wedge \; C=c_e \cdot m\]

\[\Rightarrow \; C_x=\dfrac{800kcal}{0^{\circ}C-400^{\circ}C} \; \Rightarrow \; C_x=-2\frac{kcal}{^{\circ}C}\]

\[c_{e_x} \cdot m_x = C_x \, \Rightarrow \; c_{e_x} \cdot 1kg = -2\frac{kcal}{^{\circ}C} \; \Rightarrow \; c_{e_x}=-2\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}}\]

El calor de X se libera(-):

\[Q_x=c_{e_x} \cdot m_x \cdot \Delta T \; \Rightarrow \; -Q_x=-\left(c_{e_x} \cdot m_x \cdot \Delta T \right)\]

\[\Rightarrow \; \Sigma Q= 0 \; \Rightarrow \, -Q_x+Q_y=0\] \[-\left(-2\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}} \cdot 1kg \cdot (T_f - 400^{\circ}C) \right) + \left( 1,5 \frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}} \cdot 2kg \cdot (T_f - 300^{\circ}C) \right) = 0\]

\[-\left[\left(-2\frac{kcal}{ {^{\circ}C}} \cdot T_f \right)+800kcal \right] + \left(3 \frac{kcal}{{^{\circ}C}} \cdot T_f \right) - 900kcal = 0\]

\[\left(2\frac{kcal}{ {^{\circ}C}} \cdot T_f \right) - 800kcal + \left(3 \frac{kcal}{ {^{\circ}C}} \cdot T_f \right) - 900kcal = 0\]

\[\left(5 \frac{kcal}{{^{\circ}C}} \cdot T_f \right) - 1700kcal = 0\]

\[5\frac{kcal}{ {^{\circ}C}} \cdot T_f= 1700kcal\]

\[T_f= \dfrac{1700kcal}{5\frac{kcal}{ {^{\circ}C}} }\]

\[\overset{a}{\boxed{T_f= 340^{\circ}C}}\]

Segundo planteo gráfico:

Parte b:

Datos:

• X(s), 1 kg., \(T_i=500^{\circ}C\)

• Y(s), 1 kg., \(T_i=450^{\circ}C=T_{fusion}\)

• \(T_{eq}=\frac{1}{2}m_y\)

\[T_{i_y}=T_{fusion} \; \wedge \, T_{eq}=\frac{1}{2}m_y \; \Rightarrow \; T_{i_y}=T_{fusion}=T_{eq}\]

\[Q_y=L_{f_y} \cdot \frac{1}{2}m_y \; \Rightarrow Q_y=L_{f_y} \cdot 0,5 kg\]

\[Q_x=c_{e_x} \cdot m_x \cdot \Delta T \, \Rightarrow \, Q_x=-2\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}} \cdot 1kg \cdot \left(450^{\circ}C-500^{\circ}C \right)=100kcal\]

\[\Longrightarrow Q_y=Q_x\]

\[\Longrightarrow \, L_{f_y} \cdot 0,5kg = 100kcal\] \[L_{f_y}= \dfrac{100kcal}{0,5kg}\] \[\overset{b}{\boxed{L_{f_y} = 200\frac{kcal}{kg}}}\]

Calorímetro con 2 sólidos. (exámen 2011)

El gráfico representa la temperatura en función del calor intercambiado para un kilogramo de un material X que se encuantra en estado sólido.

En un calorímetro adiabático se coloca la muestra X a \(200^{\circ}C\) junto con un kilogramo de otro material Y a \(150^{\circ}C\) en estado sólido. Al llegar al equilibrio ambos materiales son sólidos y se encuentran a \(190^{\circ}C\).

• ¿Cuál es el calor específico del material Y?

• Se coloca en el calorímetro un kilogramo de sólido X a \(300^{\circ}C\) y un kilogramo de sólido Y a la temperatura de fusión (\(250^{\circ}C\)). Al llegar al equilibrio se fundió la mitad del material Y. Determinar el calor latente de Y.

El calor específico de X:

\[Q=C \cdot \Delta T \, \Rightarrow \, C=\dfrac{Q}{\Delta T}\]

\[\Rightarrow \, C=\dfrac{800 kcal}{0^{\circ}C-200^{\circ}C}= -4\frac{kcal}{^{\circ}C}\]

\[\wedge \; C=c_e \cdot m \; \Rightarrow \; c_{e_x}=\dfrac{C}{m_x}\]

\[\Rightarrow \, c_{e_x}=\dfrac{-4\frac{kcal}{^{\circ}C}}{1kg}\; \therefore \; c_{e_x}=-4\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}}\]

Calor específico de Y:

\[\Sigma Q=0\]

\[\Rightarrow \, Q_x + Q_y=0\]

\[Q_x=c_x \cdot m_x \cdot \Delta T \, \Rightarrow \, Q_x = -4\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}} \cdot 1kg \cdot (190^{\circ}C-200^{\circ}C) \, \Rightarrow \, \cdots\]

\[\cdots \, \Rightarrow \, Q_x= -4\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}} \cdot 1kg \cdot (-10^{\circ}C) \, \Rightarrow \, Q_x=40kcal\]

\[Q_y=c_y \cdot m_y \cdot \Delta T \, \Rightarrow \, Q_y=c_y \cdot 1kg \cdot (190^{\circ}C-150^{\circ}C) \, \Rightarrow \, \cdots\]

\[\cdots \, \Rightarrow \, Q_y=c_y \cdot 1kg \cdot 40^{\circ}C\]

\[\Longrightarrow{\Sigma Q=0} \;\]

\[40kcal+c_y \cdot 1kg \cdot 40^{\circ}C=0\]

\[c_y=\dfrac{-40kcal}{1kg \cdot 40^{\circ}C}=\overset{a}{\boxed{-1\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}}}}\]

Segunda parte.

Datos:

• X(s), 1 kg., \(T_i=300^{\circ}C\)

• Y(s), 1 kg., \(T_i=250^{\circ}C=T_{fusion}\)

• \(T_{eq}=\frac{1}{2}m_y\)

\[T_{i_y}=T_{fusion} \; \wedge \, T_{eq}=\frac{1}{2}m_y \; \Rightarrow \; T_{i_y}=T_{fusion}=T_{eq}\]

\[Q_y=L_{f_y} \cdot \frac{1}{2}m_y \; \Rightarrow Q_y=L_{f_y} \cdot 0,5 kg\]

\[Q_x=c_{e_x} \cdot m_x \cdot \Delta T \, \Rightarrow \, Q_x=-4\frac{kcal}{kg \cdot {^{\circ}C}} \cdot 1kg \cdot \left(250^{\circ}C-300^{\circ}C \right)=200kcal\]

\[\Longrightarrow Q_y=Q_x\]

\[\Longrightarrow \, L_{f_y} \cdot 0,5kg = 200kcal\] \[L_{f_y}= \dfrac{200kcal}{0,5kg}\] \[\overset{b}{\boxed{L_{f_y} = 400\frac{kcal}{kg}}}\]

Termodinámica, evolución de un sistema en dos etapas.

Un sistema evoluciona en dos etapas. Primero aumenta su volumen a presión constante y después disminuye su presión a volumen constante. El estado final tiene menos energía interna que el inicial. ¿Cuál de las siguientes opciones para el calor y el trabajo intercambiados por el sistema es la que puede corresponder a esa evolución?

CALOR(kcal)	TRABAJO(kcal)
Recibe 400	Entrega 300
Recibe 100	Entrega 100
Recibe 200	Entrega 300
Recibe 400	Recibe 300
Entrega 200	Recibe 300
Recibe 300	Recibe 400

Inicio:

---

Primera etapa:

Al inicio recibe calor, y hay una transformación del volumen realizado por un trabajo del sistema.

---

Segunda etapa:

En esta etapa el volumen es constante, por lo tanto el sistema no hace ni recibe trabajo. La única variación es de la presión, por lo que varió la temperatura del sistema. En una evolución isocórica se da:
\[\Delta U = Q \quad \wedge \quad \Delta U = C_v \cdot m \cdot \Delta T\]
\[\Delta T = T_f - T_i \; \wedge \; T_i > T_f \; \Rightarrow \; \Delta T < 0 \; \Rightarrow \; \Delta U < 0\]

---

Esto último lo confirma el enunciado cuando afirma que la energía final interna del sistema es menor que la inicial.
\[ \Delta U = U_f - U_i \; \wedge \, U_i > U_f \; \Rightarrow \Delta U < 0\]
\[ Si \, \Delta U < 0 \; \Rightarrow \; Q - L_{sistema} < 0\]
\[ \therefore \; Q(+) < L_{sistema}(-)\]
Entonces la opción que cumple con esto es la tercera.

MRUV. Ejercicio de opción multiple a partir de un gráfico de aceleración.

Un bloque de 1000 kg (que inicialmente se encuentra en reposo) es elevado por una grúa hasta una cierta altura "h”. El gráfico representa la aceleración que experimenta el bloque en función del tiempo para todo el viaje. Entonces el bloque se ha desplazado:

1. 4 m en los primeros 4 segundos

2. 4 m en los últimos 4 segundos

3. 80 m en los 20 seg. de viaje

4. 20 m en los primeros 7 seg. de viaje

5. 28 m en los últimos 7 seg. de viaje

6. 20 m en los 20 seg. de viaje

Analizamos el gráfico primero sin fórmulas. Lo que se ve primero es que está dividido en tres tramos de aceleración.

• Primer Tramo, vemos la \(\overset{\rightarrow}{a}=1\frac{m}{s^2}\) y el \(\Delta t=4\,s\), entonces se puede encontrar la velocidad y el desplazamiento.

• Segundo Tramo, la \(\overset{\rightarrow}{a}=0\) y el \(\Delta t=12\,s\), no hay aceleración pero sí un intervalo de 12 segundos, y en este tramo llega con la velocidad del tramo anterior y no varía durante todo el intervalo (12 s.). En este tramo la velocidad y el desplazamiento es deducible. Hay M.R.U.

• Tercer Tramo, econtramos otra vez la aceleración constante y de distinto signo. Está frenando.

1. Primer Tramo: \[\overset{\rightarrow}{a}_1=\dfrac{\Delta \overset{\rightarrow}{v}_1}{\Delta t_1}\quad \Rightarrow \quad \Delta \overset{\rightarrow}{v}_1 = \overset{\rightarrow}{a}_1 \cdot \Delta t_1 \quad \Rightarrow \quad \Delta \overset{\rightarrow}{v}_1 = 1\frac{m}{s^2} \cdot 4\,s\] \[\therefore \quad \overset{\rightarrow}{v}_1=4\frac{m}{s}\] El desplazamiento, se nesecita la velocidad inicial y final, la final ya se obtuvo y la inicial la deducimos del enunciado “reposo”.

   \[\Delta x_1=\dfrac{\overset{\rightarrow}{v}^2_1- \overset{\rightarrow}{v}^2_0}{2\cdot a_1}\quad \Rightarrow \quad \Delta x_1=\dfrac{4^2\,m^2 \cdot s^{-2} - 0}{2\cdot 1\,m\cdot s^{-2}}\] \[\therefore \Delta x_1= 8 \, m\]

2. Segundo Tramo:

   \[\Delta x_2= x_2 -x_1 \quad \Rightarrow \; \Delta x_2 = x_2 - 8 \, m\]

   \[\overset{\rightarrow}{v}_m= \dfrac{\Delta x_2}{\Delta t_2} \quad \Rightarrow \quad \Delta x_2 = \overset{\rightarrow}{v}_m \cdot \Delta t_2 \quad \Rightarrow \quad x_2 - 8 \,m = 4\,\frac{m}{s}\cdot 12 \,s \quad \Rightarrow \cdots\]

   \[\cdots \Rightarrow \quad x_2= 48\, m + 8 \, m \quad \Rightarrow \quad x_2=56 \, m\]

3. Tercer Tramo:

   \[\overset{\rightarrow}{v}_2= \overset{\rightarrow}{v}_3 = \overset{\rightarrow}{v}_i\]

   Velocidad final:

   \[\overset{\rightarrow}{v}_f= \overset{\rightarrow}{v}_2 + \overset{\rightarrow}{a}_3 \cdot \Delta t \quad \Rightarrow \quad \overset{\rightarrow}{v}_f= 4\frac{m}{s}+ (-1)\frac{m}{s^2} \cdot 4s \quad \Rightarrow \quad \overset{\rightarrow}{v}_f=0\]

   \[\Delta x_3=\dfrac{\overset{\rightarrow}{v}^2_4 - \overset{\rightarrow}{v}^2_3}{2a}\quad \wedge \, \overset{\rightarrow}{v}_4=\overset{\rightarrow}{v}_f=0\]

   \[\Rightarrow \quad \Delta x_3= \dfrac{0-\left(4\,m\cdot s^{-1}\right)^2}{-2\, m \cdot s^{-2} }\quad \Rightarrow \quad \Delta x_3= 8 \, m\]

   \[\therefore \; \Delta x_3 = x_3 - x_2 \quad \Rightarrow \quad x_3 - x_2 = 8m \quad \Rightarrow \cdots\]

   \[\cdots \Rightarrow \quad x_3 = 8 \, m + x_2 \quad \Rightarrow \quad x_3 = 8 \, m + 56 \, m \quad \Rightarrow \quad x_3 = 64 \, m\]

   \[\Delta x_{Total}= x_3 = 64\, m\]

Entonces ya podemos descartar opciones, 1 2 3 y las dos últimas. Solo queda la cuarta que nos dice que recorrió 20 m en siete segundos.

Sabemos que los primeros 4 segundos recorre 8 m, nos quedan 3 segundos, que son recorridos a razón de 4 m cada segundo, entonces:

\[d_{(0s,7s)}= 8 \,m + \left(4\, m\cdot s^{-1} \cdot 3 \, s\right)= 8 \, m + 12 \, m = 20 \,m\]

Ejercicio de MRUV.

+

A partir del gráfico:

• Calcular la distancia recorrida y representarla en función del tiempo.

• Calcular la potencia instantánea a los cinco segundos (m= 2 kg).

La distancia puede calcularse por la suma de las áreas debajo de las rectas. Y también con ecuación: \[\Delta x= \dfrac{\overset{\rightarrow}{v}^2_{f}- \overset{\rightarrow}{v}^2_i}{2 \cdot a}\]

Para ésta ecuación se necesita encontrar la aceleración, para cada tramo:

\[a_{m} = \dfrac{\Delta \overset{\rightarrow}{v}}{\Delta t}\]

1. Tramo 1 \[a_{m} = \dfrac{\Delta \overset{\rightarrow}{v}}{\Delta t} \quad \Rightarrow \quad a_1= \dfrac{0 - 20 \,m\cdot s^{-1}}{2 \, s} \quad \Rightarrow \quad a_1= -10 \cdot \frac{m}{s^2}\]

2. Tramo 2 \[a_{m} =\dfrac{\Delta \overset{\rightarrow}{v}}{\Delta t} \quad \Rightarrow \quad a_2= \dfrac{10\, m\cdot s^{-1}-0}{2\,s} \quad \Rightarrow \quad a_2= 5\cdot \dfrac{m}{s^2}\]

Las distancias:

1. Recorrido 1 \[\Delta x_1= \dfrac{\overset{\rightarrow}{v}^2_{f}- \overset{\rightarrow}{v}^2_i}{2 \cdot a_1}\] \[\Rightarrow \quad \Delta x_1=\dfrac{0- (20\,m\cdot s^{-1})^2}{2\cdot (-10)m\cdot s^{-2}}\quad \Rightarrow \Delta x_1=\dfrac{(-\overset{20}{\cancel{400}})\,m^{\bcancel{2}}\cdot \xcancel{s^{-2}}}{ (-\underset{1}{\cancel{20}})\bcancel{m}\cdot \xcancel{s^{-2}}}\quad \Rightarrow \Delta x_1=20\,m\]

2. Recorrido 2 \[\Delta x_2= \dfrac{\overset{\rightarrow}{v}^2_{f}- \overset{\rightarrow}{v}^2_i}{2 \cdot a_2}\] \[\Rightarrow \quad \Delta x_2=\dfrac{ (10\,m\cdot s^{-1})^2-0}{2\cdot 5\,m\cdot s^{-2}}\quad \Rightarrow \Delta x_2=\dfrac{ \overset{10}{\cancel{100}} \,m^{\bcancel{2}}\cdot \xcancel{s^{-2}}}{ \underset{1}{\cancel{10}}\bcancel{m}\cdot \xcancel{s^{-2}}}\quad \Rightarrow \Delta x_2=10\,m\]

Gráfico del desplazamiento:

\[\Delta x_T= \Delta x_1 + \Delta x_2 = 20 \,m + 10 \,m = 30\,m\]

Potencia instantánea a los cinco segundos:

\[Pot=\dfrac{L}{\Delta t}\quad \Rightarrow Pot=\dfrac{\Delta E_m}{\Delta t}\quad \Rightarrow Pot=\dfrac{\overset{0}{\xcancel{\Delta E_p}} + \Delta E_c}{\Delta t} \quad \Rightarrow Pot=\dfrac{\Delta E_c}{\Delta t}\]

La potencia es instantánea por lo que será sólo en ese momento:

\[Pot_{inst}=\dfrac{E_c}{t}\quad \Rightarrow Pot_{inst}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot m \cdot (\overset{\rightarrow}{v})^2}{t}\quad \Rightarrow Pot_{inst}=\dfrac{1}{2} \cdot 2\,kg(5\,m\cdot s^{-1})^2 : 5\,s\] \[\Rightarrow \quad Pot_{inst}= \dfrac{25\, J}{5\, s} \quad \Rightarrow Pot_{inst}= 5\,W\]

Ejercicio de Fluido Real.

Un fluido real circula por un tubo cilíndrico horizontal “1” de sección \(S_{\tiny{1}}\) con velocidad \(\overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}}= 4 \,cm \cdot s^{-1}\) en regimen laminar. El tubo ”1“ se bifurca en dos tubos ”2” y "3” también horizontales de secciones \( S_{\tiny{2}} = S_{\tiny{3}} = \frac{S_{\tiny{1}}}{3}\). Los tres tubos tienen la misma longitud.

• Calcular la velocidad del fluido por el tubo "2”.

• Si la caída de presión a lo largo del tubo “1” es \(\Delta P_{\tiny{1}}= 1000 \, Pa\), hallar la caida de presión \(\Delta P_{\tiny{2}}\) a lo largo del tubo ”2”.

Lo que sabemos:

\[S_{\tiny{2}}=S_{\tiny{3}}= \frac{S_{\tiny{1}}}{3} \; \rightarrow \; S_{\tiny{1}}= 3 \cdot S_{\tiny{2}} = 3 \cdot S_{\tiny{3}}\]

\[Q_{\tiny{2}}=Q_{\tiny{3}} \, \rightarrow \, Q_{\tiny{2}} + Q_{\tiny{3}} = Q_t\] \[Q_1= \Sigma Q_{\tiny{2,3}} \, \rightarrow \, Q_{\tiny{1}} = Q_t \quad \therefore \, Q_{\tiny{2}}= \dfrac{Q_{\tiny{1}}}{2} \; \wedge \; Q_3= \dfrac{Q_{\tiny{1}}}{2}\] \[L_{\tiny{1}}= L_{\tiny{2}}=L_{\tiny{3}}\]

La continuidad en el caño "2”:

\[Q_{\tiny{1}} = S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}} \quad \wedge \quad Q_{\tiny{2}}= S_{\tiny{2}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}}\]

\[S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}} = S_{\tiny{2}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_2\] \[\rightarrow \quad Q_{\tiny{2}}= \dfrac{Q_{\tiny{1}}}{2} \, ; \quad \rightarrow \quad \dfrac{S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}}}{2} = S_{\tiny{2}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}}\] \[\rightarrow \quad \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}} = \dfrac{S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{1}}}{2 \cdot S_{\tiny{2}}}\]

Reemplazo:

\[\overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}} = \dfrac{ S_{\tiny{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{v}_1}{2 \cdot S_{\tiny{2}}} \; \rightarrow \, \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}} = \dfrac{ 3 \cdot \cancel{S_{\tiny{2}}} \cdot 0,04 \, m \cdot s^{-1}}{2 \cdot \cancel{S_{\tiny{2}}}} \; \rightarrow \; \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{2}} = 0,06 \, m \cdot s^{-1}\]

Segunda cuestión, por Poiseuille:

\[\Delta P= Q \cdot R_h \; ; \quad \wedge \; R_h= \dfrac{8 \cdot \pi \cdot \eta \cdot L}{S^2}\]

Como es un fluido real, sabremos que si disminuye el radio entonces aumenta la resistencia hidrodinámica y también aumenta la diferencia de presión, por lo que las resistencias hidrodinámicas de “2” y ”3” son mayores que en "1”. Además todas las longitudes son iguales, en la resistencia hidrodinámica es constante el numerador, reemplazo con C.

\[\Delta P_{\tiny{1}}=1000 \,Pa \; \wedge \; \Delta P_{\tiny{1}}= Q_{\tiny{1}} \cdot R_{\tiny{1}} \; \wedge \; \Delta P_{\tiny{1}}= Q_{\tiny{1}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{1}}}\]

Caño "2”: \[\Delta P_{\tiny{2}}= Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{2}}}\] Planteo: \[Q_{\tiny{1}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{1}}} = Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{2}}}\]

Recordando que:

\[Q_{\tiny{1}} =2 \cdot Q_{\tiny{2}} \quad \wedge \quad S_{\tiny{1}} = 3 \cdot S_{\tiny{2}}\] \[\rightarrow \quad Q_{\tiny{1}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{1}}} = 2 \cdot Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{C}{3 \cdot S^2_{\tiny{2}}}\] \[\rightarrow \quad Q_{\tiny{1}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{1}}} = \dfrac{2}{3} \cdot Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{C}{S^2_{\tiny{2}}}\]

\[\rightarrow \; 1000 \, Pa= \dfrac{2}{3} \cdot Q_2 \cdot \dfrac{ C}{S^2_{\tiny{2}}}\] \[\rightarrow \; 1000 \, Pa \cdot \dfrac{3}{2} = Q_{\tiny{2}} \cdot \dfrac{ C}{S^2_{\tiny{2}}}\] \[\rightarrow \; \Delta P_{\tiny{2}} = 1500 \, Pa\]

Ejercicio de dinámica, móvil de 2000 kg.

Un movil de 2000 kg. se desplaza con velocidad constante 20 \(\tfrac{m}{s}\) durante 10 segundos. En ese instante se aplica sobre él una fuerza de 1000 N en sentido contrario al desplazamiento, hasta que se detiene.

• Calcular el tiempo que tarda en detenerse desde que se aplicó la fuerza.

Datos primer tramo:	Datos segundo tramo:
móvil = 2000 kg \(\overset{\rightarrow}{v}= 20 \frac{m}{s}\) \(\Delta t_1= 10\, s\)	\(\overset{\rightarrow}{F}_{\tiny{freno}}= 1000 \, N\) \(\overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{f}} = 0\) \(\Delta t= ? \)

Ovbiamente el móvil está frenando, poco pero frenando. Y solo tenemos la fuerza que ejerce ese frenado. Entonces inferimos que el desplazamiento continua con alguna aceleración de frenado (-).
Planteo un DCL:


Segunda ley:

En el eje y no hay aceleración:	En el eje x hay aceleración:
\[\Sigma \overset{\rightarrow}{F}_y= m\cdot \overset{\rightarrow}{a}_y\] \[\Sigma \overset{\rightarrow}{F}_y=0\] \[\overset{\rightarrow}{N} - \overset{\rightarrow}{P} = 0\] \[\overset{\rightarrow}{N} = \overset{\rightarrow}{P}\] \[\overset{\rightarrow}{N} = m \cdot g\] \[\overset{\rightarrow}{N} = 20000 \, N\]	\[\Sigma \overset{\rightarrow}{F}_x= m\cdot \overset{\rightarrow}{a}_x\] \[-\overset{\rightarrow}{F}_{\tiny{freno}} = m \cdot \overset{\rightarrow}{a}_x\] \[-1000 \, N = 2000 \, kg \cdot \overset{\rightarrow}{a}_x\] \[\overset{\rightarrow}{a}_x = -\dfrac{1000 \, N}{2000 \, kg}\] \[\overset{\rightarrow}{a}_x = - 0,5 \dfrac{m}{s^2}\]

Entonces de la ecuación horaria de velocidad, obtengo el tiempo:

\[\overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{f}} = \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{i}} + \overset{\rightarrow}{a} \cdot \Delta t \quad \Rightarrow \quad \Delta t_2 = \dfrac{\overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{f}} - \overset{\rightarrow}{v}_{\tiny{i}}}{\overset{\rightarrow}{a}}\]
Reemplazando: \[\Delta t_2= 0 - \dfrac{20 \frac{m}{s}}{-0,5 \frac{m}{s^2}} \quad \therefore \quad \Delta t_2= 40 \, s\]

Ejercicio de exámen. 2015. Inmersión o profundidad.

En la figura se representa la Presión en atmósferas, en función de la profundidad, en metros, para un líquido desconocido en reposo.

• ¿Qué densidad tiene el líquido?
• ¿Qué distancia hay que bajar en ese líquido para registrar un aumento de presión de \(20\) mmHg?
  La denisdad la encontramos en la ecuación de la presión relativa o manométrica:
  \[P_{rel}= \delta \cdot g \cdot h\]
  Y como se trata de diferentes profundidades y, hay diferencias de presión:
  \[\Delta P = P_f - P_i= 0,4 \, atm - 0,1 \, atm = 0,3 \, atm\] \[\Delta h = h_f - h_i = 6 \, m - 0 \, m = 6 \, m\]
  \[P_{rel}= \delta \cdot g \cdot h \quad \rightarrow \quad \Delta P = \delta \cdot g \cdot \Delta h \quad \rightarrow \quad P_f - P_i= \delta \cdot g \cdot (h_f-h_i)\]
  Despejamos la densidad de la ecuación:
  \[\delta = \dfrac{ P_f - P_i}{g \cdot (h_f-h_i)} \; \rightarrow \; \delta = \dfrac{0,3 \, atm}{g \cdot 6 \, m} \; \rightarrow \; \delta = \frac{0,3 (101300\, Pa)}{10 \, m.s^{-2} \cdot 6 \, m} \cdots\]
  \[\cdots \rightarrow \; \delta = \dfrac{30390 \, Pa}{60 \, m.s^{-2}}\, \therefore \, \boxed{\delta = 506,5 \, kg.m^{-3}}\]
  La distancia que hay que bajar la buscamos con la misma ecuación despejando la distancia (h), con la nueva diferencia de presión \(20\) mmHg:
  \[h = \dfrac{\Delta P}{\delta \cdot g} \, \rightarrow \, h=\dfrac{20 \, mmHg}{(506,5 \cdot 10) \, Pa.m^{-1} } \, \rightarrow \, h= \dfrac{20 \cdot\frac{101300}{760} \cancel{Pa}}{5065 \cancel{Pa}} \cdot m \, \rightarrow \cdots\] \[\cdots \rightarrow \, h= \dfrac{2665,8}{5065} \,m \, \rightarrow \, \boxed{h= 0,53 \, m}\]
  \[\therefore \, P= 20\, mmHg \, \Rightarrow h= 0,53 \, m\]

Ejercicio de exámen. 2010-2009

Una bomba hidráulica alimenta un circuito construido por el paralelo de dos tubos cilíndricos diferentes. Se sabe que uno de los tubos consume \(0,2\) watt de potencia, y que la resistencia hidrodinámica del otro tubo es la mitad que la resistencia del primero. Entonces, la potencia entregada por la bomba es:

• 1 watt
• 8 watt
• 0,2 watt
• 0,4 watt
• 0,6 watt
• 4 watt

La clave para mí es la última oración la potencia entregada por la bomba, y que el tubo consume:
Datos:

1. \(Pot_{1}= 0,2\, watt\)
2. Es un circuito cerrado.
3. \(R_2= \dfrac{R_1}{2} \; \wedge \; 2R_2= R_1\)

Las ecuaciones:
\[Pot_{entregada}= Pot_1 + Pot_2\] \[\Rightarrow \quad \Delta P_1 = \Delta P_2\] \[\therefore \quad Pot= \dfrac{\left(\Delta P \right)^2}{R}\]
Evaluando:
\[Pot_1= \dfrac{\left(\Delta P \right)^2}{R_1} \quad \wedge \quad Pot_2= \dfrac{\left(\Delta P \right)^2}{R_2}\] \[Pot_1 \cdot R_1= \left(\Delta P \right)^2 \quad \wedge \quad Pot_2 \cdot R_2 = \left(\Delta P \right)^2\]
\[\Rightarrow \; Pot_1 \cdot R_1= Pot_2 \cdot R_2\] \[\Rightarrow \; Pot_1 \cdot 2R_2= Pot_2 \cdot R_2\]
Cancelo lo que no necesito más, y reemplazo:
\[\Rightarrow \; Pot_1 \cdot 2 \cdot \cancel{R_2}= Pot_2 \cdot \cancel{R_2} \quad \Rightarrow \; 0,2\, watt \cdot 2 = Pot_2\]
\[ \therefore \; Pot_2= 0,4\, watt\]
\[\Rightarrow \quad \boxed{Pot_{entregada}= 0,6 \, watt}\]

Fuente del ejercicio: cbcbiofisica.blogspot.com.ar

Ejercicio muy parecido desarrollado por el Profesor Ricardo Cabrera. 

Cuatro conductos cilíndricos. Ejercicio de exámen 2011

Cuatro conductos cilindricos identicos de radio r, estan conectados en paralelo. Por ellos circula un fluido viscoso con caudal total Q cuando la diferencia de presion entre sus extremos es \(\Delta P\). Si se reemplaza los cuatro conductos por uno solo de la misma longitud y radio interior 4r, para mantener el mismo caudal, la nueva diferencia de presion es:

• \(\dfrac{\Delta P}{16}\)

• \(\dfrac{\Delta P}{4}\)

• \(\dfrac{\Delta P}{256}\)

• \(4\cdot \Delta P\)

• \(\dfrac{\Delta P}{64}\)

• \(16 \cdot \Delta P\)

Entonces las longitudes L o \(\Delta x\) de los conductos es igual en todos los casos.

La diferencia está en los radios. Para el conducto que vamos a poner, es radio \(4 r\). Por lo que tomamos la ecuación: \[R_h=\dfrac{8 \pi \eta \Delta x}{S^2}\] Recordando que la Sección es, para cada caso:

\[S_1= \pi \cdot r^2 \quad \wedge \quad S_2= \pi \cdot (4r)^2\]

Entonces reemplazamos en la ecuación de resistencia hidrodinámica, teniendo en cuenta que todo lo que esta en el numerador es constante, se reemplaza por una letra cualquiera, yo lo hago ahora por L:

\[R_{h_2}=\dfrac{L}{S^2} \quad \Rightarrow \quad R_{h_2}=\dfrac{L}{(\pi 16 r^2)^2} \quad \Rightarrow \quad R_{h_2}= \dfrac{L}{16^2 S^2}\]

\[\therefore \; R_{h_2}= \dfrac{L}{256 S^2} \quad \Rightarrow \quad \boxed{256 R_{h_2}=\dfrac{L}{S^2}}\]

Los conductos del primer caso están en paralelo por lo que obtenemos:

\[R_{eq_1}=\dfrac{R}{4}\]

Por Poiseuille:

\[\Delta P_1= \dfrac{R_h}{4}\cdot Q\]

Entonces reemplazamos en ésta ecuación la resistencia obtenida (recuadro) para obtener la nueva diferencia de presión:

\[\Delta P_2= \dfrac{256 R_{h_2}}{4} \cdot Q \quad \Rightarrow \quad \Delta P_2= 64R_{h_2} \cdot Q\]

\[\therefore \quad \dfrac{\Delta P }{64}=R_{h_2} \cdot Q \quad \boxed{\textsf{Opción 5}}\]

Ejercicio 21. Fluidos.

Cuando se establece una diferencia de presión de 0,5 atm entre los extremos de cierto tubo recto de sección circular, fluye agua (coeficiente de viscosidad 1 cp) a razón de 30 litros por minuto. ¿Cuál sería el caudal si se reemplazara el caño por otro cuya longitud y diámetro son el doble que los del anterior, sin modificar la diferencia de presión?

Datos constantes:

\[\Delta P = 0,5\, atm\] \[\eta=1\,cp\]

Datos útiles para el tubo B, longitud y diámetro:

\[L_B=2\cdot L_A \quad \wedge \quad d_B= 2 \cdot d_A\]

Caudal tubo A:

\[Q_A=30\frac{lt}{min}\]

Ecuación del Caudal:

\[Q_A= A\cdot \overset{\rightarrow}{v}\]

Recordando que el área \(A\) es la sección de la ecuación de resistencia hidrodinámica, y que está claro que es doble en todo:

\[A=S_A=\dfrac{\pi (d)^2}{4} \quad \wedge \quad B=2A \Rightarrow B=2 \left(\dfrac{\pi (2d)^2}{4}\right) \quad\]

\[A=S_A=\dfrac{\pi (d)^2}{4} \quad \wedge \quad B=2A \Rightarrow B=8 \left(\dfrac{\pi d^2}{4}\right) \quad\]

Entonces: \[S_B=8\cdot S_A\]

En la ecuación de cuadal:

\[Q_B=8\cdot Q_A\] \[Q_B=8 \cdot 30 \frac{lt}{min} \quad \therefore \quad Q_B=240\frac{lt}{min}\]

Un ejercicio de Fluidos!! Hidrodinámica.

Una cañería por donde circula un fluido viscoso está formado por dos caños rectos colocados en paralelo de la misma longitud L y mismo material de sección \(6 cm^2\) y \(8 cm^2\). Se desea reemplazar por un caño de longitud L. ¿Cuál debe ser la sección del nuevo caño para que de la misma Rh que el conjunto reemplazado?

• \( 2 cm^2 \)

• \( 7 cm^2 \)

• \( 10 cm^2 \)

• \( 14 cm^2 \)

• \( 24 cm^2 \)

• \( 4 cm^2 \)

Ecuación de la resistencia hidrostática: \[R_h=\dfrac{8\eta L}{\pi r^4}\]

Como el ejercicio menciona tanto la sección y la ecuación aparentemente no refiere directamente a la sección, averiguando encontré que la sección es el denominador de la ecuación al cuadrado: \[\pi r^4=S^2\]

Entonces la ley de Poiseuille en términos del área de la sección transversal: \[R_h=\dfrac{8\cdot\eta\cdot\pi\cdot L}{S^2}\]

Tambíen es constante el numerador usando ésta ecuación, ya que también todas las longitudes L son iguales.

Todas las secciones S tienen constantes, como Resistencias el numerador \(8\eta L\), que entonces puede sustituirse (yo lo hago por C). Entonces queda:

\[R_h=\dfrac{C}{S^2}\]

Resolvemos en paralelo:

Secciones

• \(a= \; 6\,cm^2\)

• \(b= \; 8\,cm^2\)

\[R_a=\dfrac{C}{S^2}_a \quad \wedge \quad R_b=\dfrac{C}{S^2}_b\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{1}{R_a}+\dfrac{1}{R_b}\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{1}{\frac{C}{\left(6cm^2\right)^2}} + \dfrac{1}{\frac{C}{\left(8cm^2\right)^2}}\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{1}{\frac{C}{36cm^4}} + \dfrac{1}{\frac{C}{64cm^4}}\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{36cm^4}{C} + \dfrac{64cm^4}{C}\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{100cm^4}{C}\]

\[R_{eq}=R_h \, \Rightarrow \, R_{eq}=\dfrac{C}{S^2}_{eq}\]

Sustituyendo:

\[\dfrac{1}{\frac{C}{S^2}_{eq}}=\dfrac{100cm^4}{C}\]

\[\dfrac{S^2_{eq}}{\cancel{C}}=\dfrac{100cm^4}{\cancel{C}}\]

\[S^2_{eq}=100\,cm^4\]

\[S_{eq}=\sqrt{100\,cm^4} \quad \therefore \quad \boxed{S_{eq}=10\,cm^2} \quad \boxed{\textsf{Opción c}}\]

Ahora como lo estabamos haciendo en clase también se llega pero haciendo sustitución:

\[\dfrac{1}{R_t}=\dfrac{1}{\frac{8\eta L}{\pi r^4}}+\dfrac{1}{\frac{8\eta L}{\pi r^4}}\]

\[\dfrac{1}{R_t}= \dfrac{ \pi (r^4_1 + r^4_2)}{8 \eta L}\]

\[\dfrac{1}{\frac{8\eta L}{\pi r^4_t}}= \dfrac{\pi (r^4_1 + r^4_2)}{8 \eta L}\]

\[\dfrac{\pi r^4_t}{8 \eta L}= \dfrac{\pi (r^4_1 + r^4_2)}{8 \eta L}\]

Se cancela todo lo que es igual de ambos lados:

\[\dfrac{\xcancel{\pi} r^4_t}{\bcancel{8 \eta L}}= \dfrac{\xcancel{\pi} (r^4_1 + r^4_2)}{\bcancel{8 \eta L}}\]

\[r^4_t=r^4_1 + r^4_2\]

Entonces hago una sustitución: \(r^4 = r^2\), e ingreso las secciones dadas.

\[r^2_t=r^2_1 + r^2_2\]

\[r^2_t=(6cm^2)^2 + (8cm^2)^2\]

\[r^2_t= 100cm^4\]

\[r_t= \sqrt{100cm^4}\]

\[\boxed{r_t= 10 cm^2}\]

Respuestas Recuperatorio, primer parcial. (T-2_1C_2015)

\(\renewcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}\)

RtasRecup. 1º parcial Tema2_1C2015.

1. Las ecuaciones de las asíntotas de la función \(f(x)=\dfrac{3+2x}{x-3}\) son:

   • A.V. \( x=3 \)

     A.H. \( y=-3 \)

   • A.V. \( x=-3 \)

     A.H. \( y=\dfrac{2}{3} \)

   • A.V. \( x=3 \)

     A.H. \( y=2 \)

   • A.V. \( x=3 \)

     A.H. \( y=\dfrac{3}{2} \)

   • A.V. \( x=2 \)

     A.H. \( y=3 \)

     Desarrollo:

     • \(x-3=0\) \[x=3\] Ecuación de la asíntota: \[\lim_{x\to 3}\dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{9}{0}=\infty\]

       • \(x \to 3^+\) \[\lim_{x\to 3^+}\dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{9^+}{0^+}=\dfrac{(+)}{(+)}=+\infty\]

       • \(x \to 3^-\) \[\lim_{x\to 3^-}\dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{9^- }{0^-}=\dfrac{(+)}{(-)}=-\infty\]

       \(\boxed{ \therefore \exists \text{ A.V. }x=3}\)

     • \(x \to \infty\) \[\lim_{x \to \infty} \dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{\infty}{\infty}\]

       • Para resolver la indeterminación, buscamos la función equivalente: \[\lim_{x \to \infty} \dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{\infty}{\infty}\, \Rightarrow\, \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3}{x}+\frac{2x}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{3}{x}}= \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3}{x}+2}{1-\frac{3}{x}}\] \[\Rightarrow\, \lim_{x \to \infty} \dfrac{\overset{\to 0}{\frac{3}{\infty}}+2}{1-\underset{\to 0}{\frac{3}{\infty}}}=2\]

       \(\boxed{\therefore\, \exists \text{ A.H. } y=2}\)

   ---

2. Los puntos del intervalo \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\) en los que la función \(f(x)=-2\sin (4x-\pi)\) alcanza sus valores máximos

   • Los máximos (y mínimos) los define la amplitud \(\abs{a}\): \( a\cdot\sin(4x-\pi) \) que modifica el rango de \( \sin \)

     • \( x=-\dfrac{\pi}{8}\, \vee\, x=\dfrac{3\pi}{8} \)

     • \( x=-\dfrac{7\pi}{24}\, \vee\, x=\dfrac{5\pi}{24} \)

     • \( x=\dfrac{3\pi}{8}\, \vee\, x=\dfrac{\pi}{8} \)

     • \( x=\dfrac{5\pi}{24}\, \vee\, x=\dfrac{7\pi}{24} \)

     • \( x=\dfrac{3\pi}{8}\, \vee\, x=\dfrac{\pi}{8} \)

       Desarrollo:

       • Rango del \( \sin \)\[Im_{\sin}\left[-1;1\right]\]

       • Rango de \( f(x) \) \[\therefore \abs{a}=\lvert-2\rvert \Rightarrow \left[\left(-\lvert1\rvert\cdot\lvert-2\rvert\right);\left(\lvert1\rvert\cdot\lvert-2\rvert\right)\right]= [-2;2]\] \[Im_{f}=[-2;2]\]

       \[f(x)=2 \, \textsf{ son los máximos.}\] \[f(x)=2 \,\Leftrightarrow\, -2\sin (4x-\pi)=2\] \[f(x)=2 \,\Leftrightarrow\, \sin (\underset{u}{\underbrace{4x-\pi}})=-\underset{1}{\cancel{\dfrac{2}{2}}}\] Sustitución: \[\Rightarrow\, \sin u =-1 \quad \therefore u =\dfrac{3\pi}{2}\] Período o frecuencia T: \[\therefore u =\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\, \Rightarrow\, (4x-\pi)=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi \Rightarrow 4x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi+\pi\] \[\Rightarrow x=\left(\dfrac{5\pi}{2}+2k\pi\right)\cdot \dfrac{1}{4}\, \Rightarrow\, x=\dfrac{5\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})\]

     • Los valores de \( k\;(k \in \mathbb{Z}) \):

       • \( k=0 \) \[x_0=\dfrac{5\pi}{8}+(0)\dfrac{\pi}{2}= \dfrac{5\pi}{8}\, \therefore\, \ni \, \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\]

       • \( k=-1 \) \[x_1=\dfrac{5\pi}{8}+(-1)\dfrac{\pi}{2}= \dfrac{5\pi-4\pi}{8}=\dfrac{\pi}{8}\,\therefore\,\in\, \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\]

       • \( k=-2 \) \[x_2=\dfrac{5\pi}{8}+(-\bcancel{2})\dfrac{\pi}{\bcancel{2}}= \dfrac{5\pi}{8}-\pi=\dfrac{5\pi-8\pi}{8}=-\dfrac{3\pi}{8}\,\therefore\,\in\, \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\]

       • Solución: \[S:\left\lbrace -\dfrac{3\pi}{8};\dfrac{\pi}{8} \right\rbrace\]

   ---

3. Los puntos \( (3;5) \) y \( (1;3) \) pertenecen a la gráfica de \( f(x)=\log_2 (ax-1)+b \), hallar \( a \).

   • \( -1 \)

   • \( 4 \)

   • \( -2 \)

   • \( 3 \)

   • \( 7 \)

     Desarrollo:

     • \( f(3)=5 \) \[5=\log_2(3a-1)+b\] \[5-\log_2(3a-1) = b_1\]

     • \( f(1)=3 \) \[3=\log_2(a-1)+b\] \[3-\log_2(a-1) = b_2\]

     • \( b_1 = b_2 \) \[5-\log_2(3a-1) = 3-\log_2(a-1)\] \[5-3 = \log_2(3a-1)-\log_2(a-1)\] \[2 = \log_2\left(\dfrac{3a-1}{a-1}\right)\] \[2^2 = 2^{\log_2\left(\frac{3a-1}{a-1}\right)}\] \[4 = \dfrac{3a-1}{a-1}\] \[4(a-1) = 3a-1\] \[4a-4 = 3a-1\] \[4a-3a= 4-1\] \[a = 3\]

     • Comprobación:

       • \( b_1 \) \[b_1 = 5-\log_2(3a-1)\] \[b_1 = 5-\log_2(9-1)\] \[b_1 = 5-\log_2(8)\] \[b_1 = 5-3\] \[b_1 = 2\]

       • \( b_2 \) \[b_2 = 3-\log_2(a-1)\] \[b_2 = 3-\log_2(3-1)\] \[b_2 = 3-\log_2(2)\] \[b_2 = 3-1\] \[b_2 = 2\]

     • \[\boxed{\therefore \, b_1 = b_2}\]

   ---

4. La función lineal es \(f(x)=-\mathbf{a}x+2\) y cumple que \(f(4)-f(2)=-8\). ¿Valor de \(\textbf{a}\)?

   • \( a=-8 \)

   • \( a=-3 \)

   • \( a=4 \)

   • \( a=\dfrac{4}{3} \)

   • \( a=-4 \)

   \[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,\left(-\mathbf{a}(4)+2\right)-\left(-\mathbf{a}(2)+2\right)=-8\] \[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,-4\mathbf{a}\cancel{+2} +2\mathbf{a}\cancel{-2}=-8\] \[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,-2\mathbf{a}=-8\] \[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,\mathbf{a}=\dfrac{-8}{-2}\] \[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,\mathbf{a}=4\] Comprobación, \( f(x)=-4x+2 \): \[f(4)=-4(4)+2=-16+2=-14\] \[f(2)=-4(2)+2=-8+2=-6\] \[\therefore\,f(4)-f(2)=-14-(-6)=-14+6=-8\]

   ---

5. Considera las funciones \( f(x)= e^{3x-1}\,g(x)=x^2+2 \, h(x)=(g \circ f)(x) \). La fórmula de \(h(x)\).

   • \(e^{9x-1}+2\)

   • \(x^2e^{3x}+2\)

   • \(e^{3x^2}+1\)

   • \(e^{2(3x-1)}+2\)

   • \(e^{3(x^2+2)}-1\)

   \[h(x)=(g \circ f)(x)= g(f(x))= (f(x))^2+2= \left(e^{3x-1}\right)^2+2\] \[h(x)= e^{2(3x-1)}+2\]

   ---

6. Un número real \( \textbf{k} \) cumple que la distancia \( \textbf{3k} \) y \( 6 \) es menor que \( 9 \) y \( \textbf{k} \) pertenece al conjunto \( (-\infty;3]\cup[9;+\infty) \). El conjunto de todos los valores de \( \textbf{k} \) que cumplen las dos condiciones anteriores.

   • \((-1;5)\)

   • \((-1;3]\)

   • \((-\infty;5)\)

   • \([0;3]\)

   • \((-1;3)\)

   \[\lvert3k-6\rvert<9\;\wedge\;k\leqslant 3\,\vee\,k\geqslant9\] \[3k-6<9 \, \wedge \, 3k-6>-9 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[3k<9+6 \, \wedge \, 3k>-9+6 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[3k<15 \, \wedge \, 3k>-3 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[k<\dfrac{15}{3} \, \wedge \, k>-\dfrac{3}{3} \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[k<5 \, \wedge \, k>-1 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[-1<k<5 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[\Rightarrow \, -1<k \leqslant 3\] \[\therefore \, C_s=(-1;3]\]

   ---

7. Una empresa tiene un ingreso mensual de \$ 120 por cada unidad vendida de un determinado producto. El costo fijo mensual es de \$ 48.000 y el costo variable de \$ 48 por unidad. La cantidad de unidades x que se necesitan vender por mes para que el ingreso sea inferior al doble de costo total cumple la siguiente relación:

   • \( 0 \leqslant x < 40 \)

   • \( x < 4000 \)

   • \( 0 \leqslant x \leqslant 4000 \)

   • \( 0 < x < 4000 \)

   • \( x \leqslant 4000 \)

   Costo total= Costo Fijo + Costo Variable: \( C(x)= 48000 + 48x \) Ingreso(precio por unidad): \( I(x)=120x \) \[I(x)< 2 C(x)\] \[120x < 2(48000 +48x)\] \[\dfrac{120x}{2} < 48000 +48x\] \[60x-48x < 48000\] \[12x < 48000\] \[x < \dfrac{48000}{12}\] \[x < 4000\] \[\Rightarrow\, x > 0 \quad \therefore\; 0< x < 4000\]

   ---

8. La función inversa de la función lineal \( \textbf{f} \) que satisface que \(f ( 2 ) = 0 \) y \( f ( 1 ) = 2 \) es:

   • \( f^{-1}(x)= 2x + 4 \)

   • \( f^{-1}(x)= -3x + 5 \)

   • \( f^{-1}(x)= -x + 3 \)

   • \( f^{-1}(x)= -\dfrac{x}{2} + \dfrac{5}{2} \)

   • \( f^{-1}(x)= -5x + 10 \)

     Datos:

     • \( f(2)=0 \,\Rightarrow\, P_1=(2;0) \)

     • \( f(1)=2 \,\Rightarrow\, P_2=(0;2) \)

     Fórmula de la recta: \( f(x)=ax+b \) \[f(x)_a= \left\{ \begin{array}{c} a(2)+b=0 \\ - \\ a(1)+b=2 \end{array}\right\rbrace \Rightarrow\, a=-2\] \[f(x)_b\] \[f(2)=0\,\Leftrightarrow -2(2)+b=0\] \[f(2)=0\,\Leftrightarrow -4+b=0\] \[f(2)=0\,\Leftrightarrow b=4\] \[f(1)=2\,\Leftrightarrow -2(1)+b=2\] \[f(1)=2\,\Leftrightarrow -2+b=2\] \[f(1)=2\,\Leftrightarrow b=4\]

   \[\boxed{\therefore\, f^{-1}(x)=-2x+4}\]

   ---

9. La función \( \textbf{f} \) es una función cuadrática que verifica \( Im_f= [-1;+\infty) \), crece en el intervalo \( (2;+\infty) \) y su ordenada al origen es \( 3 \). La fórmula de \( \textbf{f} \) es:

   • \( f(x)= x^2 -4x +3 \)

   • \( f(x)= x^2 +4x +3 \)

   • \( f(x)= (x+1)(x-3) \)

   • \( f(x)= (x+2)^2 -1 \)

   • \( f(x)= -(x-1)(x+3) \)

   La función \( \textbf{f} \) crece en \( (2;+\infty) \), por lo tanto \( x_v=2 \)

   \( Im_f= [-1;+\infty)\,\therefore\, y_v=-1 \)

   Fórmula función canónica: \( y= a(x -2)^2 -1 \), y la ordenada al origen es \( 3 \)

   \( \therefore\; y=3 \, \Leftrightarrow \, x=0 \)

   Despejamos \( \textbf{a} \): \[y=3 \, \Leftrightarrow \, 3=a((0) -2)^2 -1\] \[y=3 \, \Leftrightarrow \, 3=4a -1\] \[y=3 \, \Leftrightarrow \, 4=4a\] \[y=3 \, \Leftrightarrow \, 1=a\]

   La función: \[f(x)=(x-2)^2-1\] \[f(x)=(x^2-4x+4)-1\] \[f(x)=x^2-4x+3\]

   ---

10. El conjunto de negatividad de la función \( f(x)=\dfrac{-9x^2}{3x^2-\frac{1}{3}} \) es:

    • \( \left(\dfrac{1}{3};+\infty\right) \)

    • \( (-\infty;0)\cup \left(\dfrac{1}{3};+\infty\right) \)

    • \( \left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right)\cup\left(\dfrac{1}{3};+\infty\right) \)

    • \( \left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right)\cup (0;+\infty) \)

    • \( \left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right) \)

      • \( Dom_f \) \[3x^2-\dfrac{1}{3}\neq 0\] \[\Rightarrow\,3x^2-\dfrac{1}{3}= 0\] \[\Rightarrow\,3x^2=\dfrac{1}{3}\] \[\Rightarrow\,x^2=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\] \[\Rightarrow\,\sqrt{x^2}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}\] \[\therefore\,\abs{x}=\dfrac{1}{3}\, \Rightarrow\, x=-\dfrac{1}{3}\, \vee \, x=\dfrac{1}{3}\] \[Dom_f: \mathbb{R}-\left\lbrace -\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right\rbrace\]

      • \( f(x)<0 \), para encontrar el \( C_- \) analizamos el signo de la función racional. \[f(x)=\dfrac{-9x^2}{3x^2-\frac{1}{3}}=\dfrac{(-)}{(+)}\] Por lo que ya sabemos que esta relación debe ser permanente en el \( C_- \), o que el denominador sea \( >0 \), positivo. \[\Rightarrow\,3x^2-\dfrac{1}{3} >0\] \[\Rightarrow\,3x^2 > \dfrac{1}{3}\] \[\Rightarrow\,x^2 > \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3}\] \[\Rightarrow\,x^2 > \dfrac{1}{9}\] \[\Rightarrow\,\sqrt{x^2} > \sqrt{\dfrac{1}{9}}\] \[\Rightarrow\,\abs{x} > \dfrac{1}{3}\; \therefore\, x>\dfrac{1}{3} \, \vee\, x<-\dfrac{1}{3}\] \[C_-:\left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right)\cup\left(\dfrac{1}{3};+\infty\right)\]

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Ejercicios del Modelo de Parcial de Opción Múltiple.

Modelo de Parcial de Opción Múltiple, primer cuatrimestre 2015. 

 

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1. Si \(f(x)=\dfrac{x-1}{ax+3}\) y \(f'(0)=1\) entonces ’a’ es igual a: \(-6;-3;0;3;6\)
   \[f'(x)=\left(\dfrac{x-1}{ax+3}\right)'=\dfrac{(ax+3)-a(x-1)}{(ax+3)^2}=\dfrac{3+a}{(ax+3)^2}\] \[f'(0)=1 \Leftrightarrow\; \dfrac{3+a}{(a(0)+3)^2}=1\] \[f'(0)=1 \Leftrightarrow\; \dfrac{3+a}{9}=1\] \[f'(0)=1 \Leftrightarrow\; 3+a=9\] \[f'(0)=1 \Leftrightarrow\; a=6\] Comprobación: \[f'(0)=\dfrac{3+(6)}{\left[(6(0))+3\right]^2}=\dfrac{9}{9}=1\]

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2. La derivada de la función f es \(f'(x)=(3x+1)^{\frac{1}{2}}\) y además es \(f(0)=1\).
   \[F(x)=\int f(x)\,dx= \int (3x+1)^{\frac{1}{2}}dx\] Sustitución, \(u=3x+1\); \(du=3dx\) entonces \(dx=\dfrac{du}{3}\). Reemplazamos: \[\int (3x+1)^{\frac{1}{2}}dx = \int (u)^{\frac{1}{2}}\dfrac{du}{3}= \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}(u)^{\frac{3}{2}}+C = \dfrac{2}{9}(3x+1)^{\frac{3}{2}}+C\] Averiguamos C con \(f(0)=1\):
   \[f(0)=1 \Leftrightarrow\, \dfrac{2}{9}(3(0)+1)^{\frac{3}{2}}+C =1\] \[f(0)=1 \Leftrightarrow\, \dfrac{2}{9}\cdot 1+C =1\] \[f(0)=1 \Leftrightarrow\, C =1-\dfrac{2}{9}\] \[f(0)=1 \Leftrightarrow\, C =\dfrac{7}{9}\] \[\therefore\; F(x)=\dfrac{2}{9}(3x+1)^{\frac{3}{2}}+\dfrac{7}{9} \quad \textit{Opción 3}\]

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3. El área de la región determinada por las curvas \(y=x^3\) e \(y=4x\):
   Datos:
   
   • \(f(x)=x^3\)
   • \(g(x)=4x\)
     Intersección, \(f(x)=g(x)\): \[x^3=4x\] \[x^3-4x=0\] \[x(x^2-4)=0\] \[x(x+2)(x-2)=0\] \[\Rightarrow\, x=0\, \vee \, x=-2 \, \vee \, x=2\]
   El signo de los intervalos: \((-\infty;-2)(-2;0)(0;2)(2;+\infty)\) nos interesa desde \(-2\) hasta \(2\). \[(-2;0): f(-1)=-1 \,\wedge\, g(-1)=-4 \; \therefore f(x)> g(x)\] \[(0;2): f(1)=1 \,\wedge\, g(1)=4 \, \therefore f(x)<g(x)\] \[A(r)=F(x)=\int_{-2}^{0} (f(x)-g(x))dx+ \int_{0}^{2}(g(x)-f(x))dx=\] \[=\int_{-2}^{0}(x^3-4x)dx+\int_{0}^{2}(4x-x^3)dx \quad \textbf{Opción 3}\]

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4. El área de región determinada por las curvas \(y=x^2+9\); \(y=-x^2+9\) y la recta \(x=4\). Datos:
   
   • \(f(x)=x^2+9\)
   • \(g(x)=-x^2+9\)
   Directamente el signo con \(x=4\) (Límite superior):
   \[f(4)=(4)^2+9= 25\] \[g(4)=-(4)^2+9= 5\] \[\therefore \quad f(4)>g(4)\]
   Interseccion:
   \[x^2+9=-x^2+9\] \[2x^2=0 \, \Rightarrow\, x=0 \quad \texttt{Límite inferior}\] Área de la región: \[A(r)=F(x)=\int_{0}^{4}(f(x)-g(x))dx= \int_{0}^{4} (x^2+9-(-x^2+9))dx=\cdots\\
   \cdots=\int_{0}^{4} (x^2\cancel{+9}+x^2\cancel{-9})dx=\cdots\] \[\cdots= \int_{0}^{4} 2x^2dx= \left. \dfrac{2}{3}x^3 \right |_{0}^{4}= \dfrac{2}{3}(4)^3-0= \dfrac{128}{3}\]

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5. Si \(f(x)=k.sen(x)\) con \(k \in \mathsf{R}\), entonces \(f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4\). \[f'(x)=kcos(x)\] \[f''(x)=k(-sen(x))=-ksen(x)\] \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4 \, \Leftrightarrow\, -ksen\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4\] \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4 \, \Leftrightarrow\, ksen\left(\frac{\pi}{2}\right)=4\] \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4 \, \Leftrightarrow\, k\cdot(1)=4\] \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4 \, \Leftrightarrow\, k=4\] Comprobación:
   \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4\cdot \overset{1}{\overbrace{sen\left(\frac{\pi}{2}\right)}}=-4\]

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6. La derivada de la función f es \(f'(x)=\dfrac{x+2}{x-1}\). La función f alcanza un máximo en:
   Puntos Criticos de f’: \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow \;\dfrac{x+2}{x-1}=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow \;x+2=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow \;x=-2\] Criterio de la segunda derivada: \[f''(x)=\dfrac{x-1-(x+2)}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\] \[f''(-2)= \dfrac{-3}{((-2)-1)^2}=\dfrac{-3}{9}= -\dfrac{1}{3}\] \[f''(-2)<0 \; \therefore \textsf{P.máx}: x=-2\]

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7. La ecuación de la recta tangente a \(f(x)=2x^2+x\) en el punto de abscisa \(x=1\).
   Fórmula: \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\); y \(a=1\)
   
   • \(f(a)\) \[f(1)=2(1)^2+(1)=3\]
   • \(f'(a)\) \[f'(x)=2(x^2)'+(x)'=4x+1\] \[f'(1)= 5\]
   Reemplazando:
   \[y-3=5(x-1)\quad \textsf{Opción 1}\]

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8. La función \(g(x)=e^{-3x-2}\) es decreciente en:
   Criterio de la primera derivada:
   \[g'(x)=\left(e^{-3x-2}\right)'= e^{-3x-2}.-3=-3e^{-3x-2}\]
   \[g(-1)=-3e^{-3(-1)-2}=-3e \; \Rightarrow \, g'(x)<0\] \[g(0)=-3e^{-3(0)-2}=-3e^0=-3 \; \Rightarrow \, g'(x)<0\] \[g(1)=-3e^{-3(1)-2}=-3e^{-5}=-\dfrac{3}{e^5} \; \Rightarrow \, g'(x)<0\]
   \[(-3 <0)\cdot(e^{-3x-2}>0)= x<0\] \[\therefore g(x)\, \texttt{es absolutamente decreciente } \forall x \in \mathbf{R}\].

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9. La derivada de f es \(f'(x)=x^3-x\), luego la función tiene mínimos en:
   Puntos Críticos:
   \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow\, x^3-x=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow\, x(x^2-1)=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow\, x(x-1)(x+1)=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow\, x=0\, \vee \, x=1\, \vee\, x=-1\]
   Criterio de la segunda derivada:
   \[f''(x)=3x^2-1\] \[f''(0)=3(0)^2-1=-1\] \[f''(1)=3(1)^2-1= 2\] \[f''(-1)=3(-1)^2-1= 2\]
   \[\therefore \textsf{Máx.}: x=0 \; \wedge \textsf{Mín.}: x=-1\, \wedge\, x=1\]
   Los puntos por la integral:
   \[\int(x^3-x)dx= \dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}; \; C=0\]
   \[F(0)=0\, \Rightarrow\, \textsf{Máx}:(0;0)\] \[F(-1)= \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}\, \Rightarrow\, \textsf{Mín}_0:\left(-1;-\dfrac{1}{4}\right)\] \[F(1)= \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}\, \Rightarrow\, \textsf{Mín}_1:\left(-1;-\dfrac{1}{4}\right)\]

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10. \(\int 5xe^{-2x^2}\) es igual a:
    \[\int 5xe^{-2x^2} \, dx\]
    Sustitución \(u=-2x^2\), entonces \(du=-4xdx\) por lo que \(dx=-\dfrac{du}{4x}\)
    \[\int 5xe^{-2x^2} \, dx = \int 5x e^u \left(-\dfrac{du}{4x}\right)=-\dfrac{5}{4}\int e^u du= -\dfrac{5}{4} e^u + C = -\dfrac{5}{4} e^{-2x^2} + C\]

Ejercicios de exámenes 2

\[\displaystyle\int_1^4 \left( \sqrt{x} + f(x)\right)dx=5\] \[\displaystyle\int_1^4 x^{\frac{1}{2}}dx+ \int_1^4 f(x) dx=5\] \[\displaystyle\int_1^4 \dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}dx + \int_1^4 f(x) dx=5\] \[\left. \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} \right |_1^4 +\int_1^4 f(x) dx=5\] \[\left[\left(\dfrac{2(4)^{\frac{3}{2}}}{3}\right)-\left(\dfrac{2(1)^{\frac{3}{2}}}{3}\right)\right] +\int_1^4 f(x) dx=5\] \[\left(\dfrac{16}{3}-\dfrac{2}{3}\right)+\int_1^4 f(x) dx=5\] \[\dfrac{14}{3}+\int_1^4 f(x) dx=5\] \[\int_1^4 f(x) dx=5-\dfrac{14}{3}\] \[\int_1^4 f(x) dx=\dfrac{1}{3}\]

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Datos:

• \(h(x)=(x^3-6x)f(x)\)
• \(f(1)=5\)
• \(f'(1)=9\)

Hallar \(h'(1)\) (la derivada de una multiplicación):
\[h'(x)= (x^3-6x)'f(x)+ (x^3-6x)f'(x)\] \[h'(x)=(3x^2-6)f(x)+(x^3-6x)f'(x)\] \[h'(1)=(3(1)^2-6)f(1)+((1)^3-6(1))f'(1)\] \[h'(1)=\left\lbrace [3(1)^2-6]5\right\rbrace +\left\lbrace[(1)^3-6(1)]9 \right\rbrace\] \[h'(1)=[(-3)5]+[(-5)9]\] \[h'(1)=(-15)+(-45)\] \[h'(1)=-60\]

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Hallar \(\int_{-1}^{1} f(x)dx=\) \[\int_{-1}^{1} \left[3f(x)-2 \right]dx=4\] \[3\int_{-1}^{1} f(x) dx -2\int_{-1}^{1} dx=4\] \[3\int_{-1}^{1} f(x) dx - \left. 2x \right|_{-1}^{1}=4\] \[3\int_{-1}^{1} f(x) dx -\left[ (2(1))-(2(-1) \right]=4\] \[3\int_{-1}^{1} f(x) dx -4 =4\] \[3\int_{-1}^{1} f(x) dx=4+4\] \[\int_{-1}^{1} f(x) dx=\dfrac{8}{3}\]

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Hallar los ceros de \(f\) en \([0;2\pi]\) \[f(x)=0\] \[2\cos^2 (x)+\cos (x)=0\] \[\cos (x)(2\cos (x) +1)=0\] \[\Rightarrow\, \cos (x) = 0 \;\vee\, 2\cos(x)+1=0\] \[\Rightarrow\, \cos (x) = 0 \;\vee\, \cos(x)=-\dfrac{1}{2}\]

• \(\cos(x)=0\), período de los ceros de \(\cos\) es \(k\pi\) \[x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\quad (k \in \mathbb{Z})\]

  • \(k=0\) \[x_1=\dfrac{\pi}{2}+(0)\pi= \dfrac{\pi}{2}\]

  • \(k=1\) \[x_2=\dfrac{\pi}{2}+(1)\pi=\dfrac{3\pi}{2}\]

• \(\cos(x)=-\dfrac{1}{2}\), en \(120^o\) y \(240^o\). \[x_3=\dfrac{2\pi}{3} \, \wedge \, x_4=\dfrac{4\pi}{3}\]

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¿Para qué valor de k se cumple que el conjunto de negatividad de la función \(f(x)=2^{-k+x}-4\) es igual a \((-\infty;3)\)?

• En \(x=3\), \(f(x)=0\)

\[f(x)<0\] \[f(3)=0\] \[2^{-k+3}-4=0\] \[2^{-k+3}=4\] \[\log_2 2^{-k+3}=\log_2 4\] \[-k+3=2\] \[-k=2-3\] \[-k(-1)=-1(-1)\] \[k=1\]

Ejercicio 31, TP5

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Ejercicio 31

El planteo es:
¿En qué punto del primer cuadrante, la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) =4-x^2$ determina junto con los ejes coordenados un triángulo de área mínima?

1.  Área del triangulo:
   $$A=\displaystyle\frac{b.h}{2}$$
2. Fórmula "punto-pendiente" o fórmula de la Recta Tangente: $$y-y_1=f'(x)=(x-x_1)$$
3. Cambio $x=a$, para distinguir. $$f(a) =4-a^2\\
   y-f(a)=f'(a)(x-a)$$
4. Pendiente de la recta tangente con la primera derivada de f(a): $$f'(a)=-2a$$
5. Punto de la recta tangente en f(a): $$P=(a;(4-a^2))$$
6. Reemplazando en la fórmla "p-p", despejando y="recta tangente": $$y-(4-a^2)=(-2a)(x-a)\\
   y=(-2a)(x-a)(4-a^2)\longrightarrow\boxed{{y=a^2-2ax+4}}$$
7. La altura $h=y(x)$, $x=0$: $$ x=0\longrightarrow{y=a^2-2a(0)+4}\longrightarrow{y=a^2+4}\\
   \boxed{h=a^2+4}$$
8. La base $y=b$, cuando $y=0$: $$0=a^2-2ax+4\\
   \boxed{x=\displaystyle\frac{1}{2}a+\displaystyle\frac{2}{a}}\qquad a\neq{0}$$
9. Área del triángulo, para obtener la función del área: $$A=\displaystyle\frac{b.h}{2}$$
• Reemplazando: $$A=\displaystyle\frac{\left( \displaystyle\frac{1}{2}a+\displaystyle\frac{2}{a} \right)\left( a^2+4 \right)  } {2}$$
•  Función del Área(a): $$A=\displaystyle\frac{1}{4}a^3+2a+\displaystyle\frac{4}{a}\\
  \boxed{A(a)=\displaystyle\frac{1}{4}a^3+2a+\displaystyle\frac{4}{a}}$$
10. Primera derivada de A(a), para encontrar puntos críticos: $$\boxed{A'(a)=\displaystyle\frac{3}{4}a^2+2-\displaystyle\frac{4}{a^2}}$$
    
    • Igualo $A'(a)=0$: $$A'(a)=0=\displaystyle\frac{3}{4}a^2+2-\displaystyle\frac{4}{a^2}$$
    • Multiplico ambos mienbros por $a²$: $$0=\displaystyle\frac{3}{4}a^4+2a^2-4$$
    •  Para achicar el exponente $a^2=b$: $$\displaystyle\frac{3}{4}b^2+2b-4=0\\
      b_1=-4 \qquad b_2=\displaystyle\frac{4}{3}\\
      b_1=\textsf{no tiene soluciones en los }\mathbb{R}\\
      b_2=\displaystyle\frac{4}{3}\Rightarrow{a^2=\displaystyle\frac{4}\\
      {3}}\Rightarrow{a_{1;2}=\pm\,{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{4}{3}}}}\\
      a_1=-\displaystyle\frac{2\cdot{}\sqrt[ ]{3}}{3}\qquad a_2=\displaystyle\frac{2\cdot{}\sqrt[ ]{3}}{3}\\
      \textsf{Punto critico para el primer cuadrante: }\boxed{\displaystyle\frac{2\cdot{}\sqrt[ ]{3}}{3}}$$
11. Comprobación que el punto crítico es el mínimo, segunda derivada: $$\boxed{A''(a)=\displaystyle\frac{3}{2}a+8a^{-3}}\\
    A'' \left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)= \displaystyle\frac{3}{2} \left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right) +8 \left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)^{-3}\\
    A'' \left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)=6,9282...\\
    A''(a)>0\textsf{ hay un minimo en }\boxed{a_1}$$
12. Imágen de $a$: $$f(a)=4-a^2\; \Rightarrow\, f\left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)=4-  \left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)^2\\
    f\left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)=4- \left(\dfrac{2^2\cdot \sqrt{3^2}}{3^2}\right)\\
    f\left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)= \require{cancel}4 -\left( \dfrac{4\cdot \overset{1}{\cancel{3}}}{\underset{3}{\cancel{9}}}\right)\\
    f\left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)=4-\dfrac{4}{3}\\
    f\left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)=\dfrac{8}{3}\\
    \therefore \textsf{el punto del primer cuadrante que determina un triángulo de área mínima es: }\\
    \boxed{P= \left[ \left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right); \dfrac{8}{3}\right]}$$

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Versión libre del ejercicio 31.

Nos piden el punto que está en el primer cuadrante de la recta tangente a:
$$f(x)=4-x^2$$

El punto es de la forma:$(x; (4-x^2))$


Haciendo la derivada para encontrar la pendiente de la R.T. encuentro una recta paralela a la R.T.:

$$f'(x)=-2x$$
Pasa por $(0; 0)$ e interseca a $f(x)=4-x^2$ en el 2º y 4º cuadrante. Por lo tanto una recta $g(x)$ de signo opuesto a la derivada interseca a $f(x)=4-x^2$ en el 1º y 3º:

$$g(x)=-f'(x)=-(-2x) \Longrightarrow\, g(x)=2x$$

Entonces hago la intersección $f(x)=g(x)$:

$$f(x)=g(x)\\
4-x^2=2x\\
4-x^2-2x=0$$
El determinante:$$\triangle = 20 \therefore x \in \mathbb{R}\\ x_1=-1+\dfrac{\sqrt{20}}{2} \approx 1,236; \; \vee \; x_2=-1-\dfrac{\sqrt{20}}{2} \approx -3,236\\
\therefore x_1 \in \textsf{Pimer Cuadrante}$$
Haciendo $f(x_1) \vee g(x_1)$ obtengo el mismo valor de y.

$$f \left(-1+\dfrac{\sqrt{20}}{2} \right) \approx 2.46\\
g \left(-1+\dfrac{\sqrt{20}}{2} \right) \approx 2.46\\
f'(x)= \dfrac{2(x+6)(2x-1)-2(x+6)^2}{(2x-1)^2}$$
Se expande:
$$f'(x)= \dfrac{4x^2+22x-12-2x^2-24x-72}{(2x-1)^2}\\
f'(x)= \dfrac{2x^2-2x-84}{(2x-1)^2}$$

Ejercicio 13-c, TP4, UBAXXI

$\text{13)-c) Determiná}\, x \in [0;5\pi] \text{ tal que }f(x)=\sqrt{2}\text{; si }f(x)=2sen\left(\frac{x}{4}+ \pi\right)$
$$f(x)=\sqrt{2}\quad\Leftrightarrow\quad 2sen\left(\frac{x}{4}+ \pi\right)=\sqrt{2}\\
f(x)=\sqrt{2}\quad\Leftrightarrow\quad 2sen\left(\frac{x}{4}+ \pi\right)= \sqrt{2}\\
f(x)=\sqrt{2}\quad\Leftrightarrow\quad sen\underset{z}{\underbrace{\left(\frac{x}{4}+ \pi\right)}}= \frac{\sqrt{2}}{2}$$

• z $$z=\left(\frac{x}{4}+ \pi \right)\quad \wedge \quad z \in{\mathbb{R}}\\
  \Rightarrow \quad sen(z)=  \frac{\sqrt{2}}{2}\\
  \Rightarrow \quad z_1= \frac{\pi}{4}\quad \wedge \quad z_2=\frac{3\pi}{4}$$

• z₁ $$z_1=\frac{\pi}{4} \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{x}{4}+ \pi\right)= \frac{\pi}{4}\\
  \frac{x}{4}=\frac{\pi}{4}- \pi\\
  x= -\frac{3\pi}{4}\cdot 4 \; \therefore\, x=-3\pi\\
  \Rightarrow \; x_1=-3\pi+2k\pi \quad (k \in{\mathbb{Z}})$$

•  z₂$$z_2=\frac{3\pi}{4} \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{x}{4}+ \pi\right)= \frac{3\pi}{4}\\
  \frac{x}{4}= \frac{3\pi}{4}-\pi\\
  x= -\frac{\pi}{4}\cdot 4 \; \therefore\, x=-\pi\\
  \Rightarrow \; x_2=-\pi+2k\pi \quad (k \in{\mathbb{Z}})$$

• Período T:$$T=\frac{2k\pi}{\left| a \right|}\; \wedge\; f(x)=2sen\left(\frac{x}{4}+\pi \right)$$
  $$|a|=\frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad T=\frac{2k\pi}{\frac{1}{4}}=4\cdot\frac{2k\pi}{1}=8k\pi$$
  $$\Rightarrow \quad x_1=-3\pi+8k\pi \quad \wedge \quad x_2=-\pi+8k\pi \quad (k \in{\mathbb{Z}})$$
  $$x_2 < 0 \; \wedge \; x_2>5\pi \text{ para cualquier valor de k.} $$

• Valores de k: $$k \in [0;5\pi]\\
  \begin{matrix}
  & k & = & 1 & & &\\
  & & x_1 & = & -3\pi + 8\cdot(1)\cdot \pi & = & 5\pi
  \end{matrix}
  $$
  $$x \in{[0;5\pi]}/f(x)=\sqrt{2}:\; \underline{S=\{5\pi\}}$$

Ejercicio 7-c del TP4 de UBAXXI

$\text{7)-c) Todos los valores de x que verifiquen }sen(x)=cos(x)$
$$sen(x)= cos (x)$$
$\text{Divido ambos por }cos(x)$
$$\Rightarrow \; \dfrac{sen(x)}{cos(x)}= \overset{1}{\cancel{\dfrac{cos(x)}{cos(x)}}}\\
\Rightarrow \; \dfrac{sen(x)}{cos(x)}=  1\\
\wedge \; \dfrac{sen(x)}{cos(x)}= tan(x)\\
\therefore \; tan(x)=1 \; \Rightarrow \; x=\dfrac{\pi}{4}$$
$\text{Entonces los valores de x que verifican }sen(x)=cos(x)\text{ son de la forma:}$
$$\boxed{ x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi}$$

Ejercicios de exámenes.

•  Ejercicio de exámen 1 (con Trigonometría):
  $$2\sin(3x)=\sqrt{3} \text{, en el intervalo: } (\pi;2\pi)$$
  \[2\sin(3x)=\sqrt{3}\; \Rightarrow\;
  \sin(3x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
  \[3x=z\;(z \in{\mathbb{R}}) \quad \Rightarrow \sin(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
  \[z=\frac{\pi}{3}+2k\pi \quad \wedge \quad z=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \quad (k \in{\mathbb{Z}})\]
  \[3x=z \; \Rightarrow \; 3x=\frac{\pi}{3} +2k\pi \; \wedge \; 3x=\frac{2\pi}{3} +2k\pi \]
  \[3 \cdot 3x= 3\cdot \left(\frac{\pi}{3} +2k\pi \right)  \; \wedge \; 3 \cdot 3x= 3 \cdot \left(\frac{2\pi}{3} +2k\pi \right)\]
  \[9x=  \pi +6k\pi  \; \wedge \; 9x= 2\pi +6k\pi\]
  \[x_1=\frac{\pi +6k\pi}{9} \; \wedge \; x_2= \frac{2\pi +6k\pi}{9}\]
  \[\forall \; k \in \; (\pi;2\pi)\; (k \in \mathbb{Z})\]
  \[\begin{matrix}
   k & = & 1 & & & & & & & \\
  && x_1 & = & \frac{\pi +6(1)\pi}{9} & = & \frac{7\pi}{9} & < & \pi & \\
  \\
   & & x_2 & = & \frac{2\pi +6(1)\pi}{9} & = & \frac{8\pi}{9} & < & \pi & \\
  \\
   k & = & 2 &&&&&&& \\
  && x_1 & = & \frac{\pi +6(2)\pi}{9} & = & \frac{13\pi}{9} & > \pi & \wedge & \frac{13\pi}{9} \; < 2\pi\\
  \\
  && x_2 & = & \frac{2\pi +6(2)\pi}{9} & = & \frac{14\pi}{9} & > \pi & \wedge & \frac{14\pi}{9} \; < 2\pi \\
  \end{matrix}
  \]
  \[S= \left\lbrace \frac{13\pi}{9} ; \frac{14\pi}{9} \right\rbrace\] 

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• Ejercicio de exámen 2 (composición de funciones):
  $$\text{1)Averiguar }(g \circ f)\text{ siendo }g(x)= \sqrt{x}\text{ y }f(x)=ln(x-2) \\
  \text{2)Dar el dominio}$$
  $$1º)\,(g \circ f)\\ g \circ f= g(f(x))=h(x) \quad \Rightarrow \quad h(x)= \sqrt{ln(x-2)}\\ 2º)\, Dom_h\\
  h(x)=\sqrt[n]{a} \; \Rightarrow \; a\geqslant 0 \; \Leftrightarrow \; n \text{ es par} \; \Rightarrow \; h(x) \geqslant 0 \\ \Rightarrow\; \sqrt{ln(x-2)} \geqslant 0\\ln(x-2) \geqslant 0\\ e^{ln(x-2)} \geqslant e^0\\ x-2 \geqslant 1\\
  x \geqslant 1+2 \; \Rightarrow \; x \geqslant 3\\ Dom_h=[3;+\infty)$$

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•  Ejercicio de exámen 3:
  $$f(x)=-3sen(2x)\, \text{ Averiguar los máximos y su valor de }x \in [-\pi;\pi]\\
  \text{1)}\underline{\text{ Amplitud}}:\, |A|\\
  |A|=|-3|=3 \; \Rightarrow\; Im_f=[-3;3]\\
  \text{2)} \underline{\text{ Puntos Máximos}}:\\
  f(x)=3 \, \Leftrightarrow\; -3sen(2x)=3\\
  f(x)=3 \, \Leftrightarrow\; sen(2x)=\frac{3}{(-3)}\\
  f(x)=3 \, \Leftrightarrow\;  sen(2x)=-1 \\
  \text{a)}\underline{\text{ Sustitución }}\\
  2x=z \qquad (z \in{\mathbb{R}})\\
  \Rightarrow\; sen(z)=-1 \quad \Rightarrow \, z=\frac{3\pi}{2}\\
  2x=z \; \Rightarrow\; 2x=\frac{3\pi}{2} \; \Rightarrow\; x=\frac{3\pi}{2}\cdot \frac{1}{2}\\
  x=\frac{3\pi}{4}\\
  \underline{\text{Período (T) de f(x)}}:\\
  T=\frac{2\pi}{|a|}\\
  |a|=|2|=2 \; \Rightarrow\; \frac{2\pi}{2}= k\pi \qquad (k \in{\mathbb{Z}})\\
  \underline{\text{Los puntos máximos son de la forma}}:\\
  \boxed{x=\frac{3\pi}{4}+k\pi}\\
  \\
  k \in [-\pi; \pi]\\
  \begin{matrix}
  & k & = & -1 & & & & \\
  & & & x & = & \frac{3\pi}{4}+(-1)\cdot \pi & = & -\frac{\pi}{4}\\
  & k & = & 0 & & & & \\
  & & & x & = & \frac{3\pi}{4}+(0)\cdot \pi & = & \frac{3\pi}{4}\\
  \end{matrix}\\
  P_{Max} \in [-\pi; \pi]: S=\left\lbrace -\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4} \right\rbrace $$

Ejercicio 52, del práctico 2º. Matemática UBA XXI

Para este ejercicio se sugiere en las soluciones que se realice teniendo en cuenta el Teorema de Bolzano, pero es necesario entonces el Teorema del Valor Intermedio. ¡Y se llega más rápido a la solución con Ruffini!

$$C(x)=53\;\Rightarrow\;\dfrac{x^3}{6}+2x+5=53$$ $$C(0)< C(x)< C(10)$$ $$\text{C es continua en }[0;10]$$ $$C(0) < k < C(10)$$ \[\exists\, x \in (0;10)/C(x)=k\] \[\begin{matrix} \Rightarrow & \exists\; c & \in (a,b) & / f(c) & = & C(c)-k & = & 0 \\ \Rightarrow & \exists\; c & \in (a,b) & / f(c) & = & k & & \end{matrix}\] \[\begin{matrix} f(0) & = & C(0)-53 & < & 0 \\ f(1) & = & C(1)-53 & < & 0 \\ f(2) & = & C(2)-53 & < & 0 \\ f(3) & = & C(3)-53 & < & 0 \\ f(4) & = & C(4)-53 & < & 0 \\ f(5) & = & C(5)-53 & < & 0 \\ f(6) & = & C(6)-53 & = & 0 \end{matrix}\] \[C(6)=\dfrac{1}{6}\cdot (6)^3 + 2\cdot 6 +5 = 36 + 17 = 53\]

Latex versus Math

Fórmula ejemplo hecha con MathMl (método larguísimo), que utiliza tags (etiquetas) <math> </math>:


$$x=\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4<!--\; \; -->a<!--\; \; -->c}}{2<!--\; \; -->a}$$

$$x=\frac{1}{2}$$
Ecuación escrita en LaTeX, con el comando '\mathbf{}' (math bold font):
\[\ \mathbf{x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\]
Fórmula hecha con el código de esta página: http://forobeta.com/blogger/155633-incorporar-formulas-matematicas-blogger.html; con Mathjax. En realidad yo estoy usando el código que provee directamente Mathjax para utilizarlo de forma segura.
\[\ \int_{-1}^{1}x\, dx= \left. \dfrac{x^2}{2}\right|_{-1}^{1}=\cdots\] \[\ \text{Usando '\\mathbf{}':}\quad\mathbf{\int_{-1}^{1}x\, dx= \left. \dfrac{x^2}{2}\right|_{-1}^{1}=\cdots} \] Esta es una función puesta en la línea del texto \(\int_{-1}^{1}x\, dx= \left. \frac{x^2}{2}\right|_{-1}^{1}=\cdots\), hecha a partir de agregar la configuración propuesta en MathJax para poder introducir funciones en la línea del texto:
<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]} }); </script> <script type="text/javascript" src="path-to-mathjax/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"></script> <script type="text/javascript" src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"> </script>