Un ejercicio de Fluidos!! Hidrodinámica.

Una cañería por donde circula un fluido viscoso está formado por dos caños rectos colocados en paralelo de la misma longitud L y mismo material de sección \(6 cm^2\) y \(8 cm^2\). Se desea reemplazar por un caño de longitud L. ¿Cuál debe ser la sección del nuevo caño para que de la misma Rh que el conjunto reemplazado?

• \( 2 cm^2 \)

• \( 7 cm^2 \)

• \( 10 cm^2 \)

• \( 14 cm^2 \)

• \( 24 cm^2 \)

• \( 4 cm^2 \)

Ecuación de la resistencia hidrostática: \[R_h=\dfrac{8\eta L}{\pi r^4}\]

Como el ejercicio menciona tanto la sección y la ecuación aparentemente no refiere directamente a la sección, averiguando encontré que la sección es el denominador de la ecuación al cuadrado: \[\pi r^4=S^2\]

Entonces la ley de Poiseuille en términos del área de la sección transversal: \[R_h=\dfrac{8\cdot\eta\cdot\pi\cdot L}{S^2}\]

Tambíen es constante el numerador usando ésta ecuación, ya que también todas las longitudes L son iguales.

Todas las secciones S tienen constantes, como Resistencias el numerador \(8\eta L\), que entonces puede sustituirse (yo lo hago por C). Entonces queda:

\[R_h=\dfrac{C}{S^2}\]

Resolvemos en paralelo:

Secciones

• \(a= \; 6\,cm^2\)

• \(b= \; 8\,cm^2\)

\[R_a=\dfrac{C}{S^2}_a \quad \wedge \quad R_b=\dfrac{C}{S^2}_b\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{1}{R_a}+\dfrac{1}{R_b}\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{1}{\frac{C}{\left(6cm^2\right)^2}} + \dfrac{1}{\frac{C}{\left(8cm^2\right)^2}}\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{1}{\frac{C}{36cm^4}} + \dfrac{1}{\frac{C}{64cm^4}}\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{36cm^4}{C} + \dfrac{64cm^4}{C}\]

\[\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{100cm^4}{C}\]

\[R_{eq}=R_h \, \Rightarrow \, R_{eq}=\dfrac{C}{S^2}_{eq}\]

Sustituyendo:

\[\dfrac{1}{\frac{C}{S^2}_{eq}}=\dfrac{100cm^4}{C}\]

\[\dfrac{S^2_{eq}}{\cancel{C}}=\dfrac{100cm^4}{\cancel{C}}\]

\[S^2_{eq}=100\,cm^4\]

\[S_{eq}=\sqrt{100\,cm^4} \quad \therefore \quad \boxed{S_{eq}=10\,cm^2} \quad \boxed{\textsf{Opción c}}\]

Ahora como lo estabamos haciendo en clase también se llega pero haciendo sustitución:

\[\dfrac{1}{R_t}=\dfrac{1}{\frac{8\eta L}{\pi r^4}}+\dfrac{1}{\frac{8\eta L}{\pi r^4}}\]

\[\dfrac{1}{R_t}= \dfrac{ \pi (r^4_1 + r^4_2)}{8 \eta L}\]

\[\dfrac{1}{\frac{8\eta L}{\pi r^4_t}}= \dfrac{\pi (r^4_1 + r^4_2)}{8 \eta L}\]

\[\dfrac{\pi r^4_t}{8 \eta L}= \dfrac{\pi (r^4_1 + r^4_2)}{8 \eta L}\]

Se cancela todo lo que es igual de ambos lados:

\[\dfrac{\xcancel{\pi} r^4_t}{\bcancel{8 \eta L}}= \dfrac{\xcancel{\pi} (r^4_1 + r^4_2)}{\bcancel{8 \eta L}}\]

\[r^4_t=r^4_1 + r^4_2\]

Entonces hago una sustitución: \(r^4 = r^2\), e ingreso las secciones dadas.

\[r^2_t=r^2_1 + r^2_2\]

\[r^2_t=(6cm^2)^2 + (8cm^2)^2\]

\[r^2_t= 100cm^4\]

\[r_t= \sqrt{100cm^4}\]

\[\boxed{r_t= 10 cm^2}\]