Las ecuaciones de las asíntotas de la función \(f(x)=\dfrac{3+2x}{x-3}\) son:
A.V. \( x=3 \)
A.H. \( y=-3 \)
A.V. \( x=-3 \)
A.H. \( y=\dfrac{2}{3} \)
A.V. \( x=3 \)
A.H. \( y=2 \)
A.V. \( x=3 \)
A.H. \( y=\dfrac{3}{2} \)
A.V. \( x=2 \)
A.H. \( y=3 \)
Desarrollo:
\(x-3=0\) \[x=3\] Ecuación de la asíntota: \[\lim_{x\to 3}\dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{9}{0}=\infty\]
\(x \to 3^+\) \[\lim_{x\to 3^+}\dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{9^+}{0^+}=\dfrac{(+)}{(+)}=+\infty\]
\(x \to 3^-\) \[\lim_{x\to 3^-}\dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{9^- }{0^-}=\dfrac{(+)}{(-)}=-\infty\]
\(\boxed{ \therefore \exists \text{ A.V. }x=3}\)
\(x \to \infty\) \[\lim_{x \to \infty} \dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{\infty}{\infty}\]
Para resolver la indeterminación, buscamos la función equivalente: \[\lim_{x \to \infty} \dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{\infty}{\infty}\, \Rightarrow\, \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3}{x}+\frac{2x}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{3}{x}}= \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3}{x}+2}{1-\frac{3}{x}}\] \[\Rightarrow\, \lim_{x \to \infty} \dfrac{\overset{\to 0}{\frac{3}{\infty}}+2}{1-\underset{\to 0}{\frac{3}{\infty}}}=2\]
\(\boxed{\therefore\, \exists \text{ A.H. } y=2}\)
Los puntos del intervalo \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\) en los que la función \(f(x)=-2\sin (4x-\pi)\) alcanza sus valores máximos
Los máximos (y mínimos) los define la amplitud \(\abs{a}\): \( a\cdot\sin(4x-\pi) \) que modifica el rango de \( \sin \)
\( x=-\dfrac{\pi}{8}\, \vee\, x=\dfrac{3\pi}{8} \)
\( x=-\dfrac{7\pi}{24}\, \vee\, x=\dfrac{5\pi}{24} \)
\( x=\dfrac{3\pi}{8}\, \vee\, x=\dfrac{\pi}{8} \)
\( x=\dfrac{5\pi}{24}\, \vee\, x=\dfrac{7\pi}{24} \)
\( x=\dfrac{3\pi}{8}\, \vee\, x=\dfrac{\pi}{8} \)
Desarrollo:
Rango del \( \sin \)\[Im_{\sin}\left[-1;1\right]\]
Rango de \( f(x) \) \[\therefore \abs{a}=\lvert-2\rvert \Rightarrow \left[\left(-\lvert1\rvert\cdot\lvert-2\rvert\right);\left(\lvert1\rvert\cdot\lvert-2\rvert\right)\right]= [-2;2]\] \[Im_{f}=[-2;2]\]
\[f(x)=2 \, \textsf{ son los máximos.}\] \[f(x)=2 \,\Leftrightarrow\, -2\sin (4x-\pi)=2\] \[f(x)=2 \,\Leftrightarrow\, \sin (\underset{u}{\underbrace{4x-\pi}})=-\underset{1}{\cancel{\dfrac{2}{2}}}\] Sustitución: \[\Rightarrow\, \sin u =-1 \quad \therefore u =\dfrac{3\pi}{2}\] Período o frecuencia T: \[\therefore u =\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\, \Rightarrow\, (4x-\pi)=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi \Rightarrow 4x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi+\pi\] \[\Rightarrow x=\left(\dfrac{5\pi}{2}+2k\pi\right)\cdot \dfrac{1}{4}\, \Rightarrow\, x=\dfrac{5\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})\]
Los valores de \( k\;(k \in \mathbb{Z}) \):
\( k=0 \) \[x_0=\dfrac{5\pi}{8}+(0)\dfrac{\pi}{2}= \dfrac{5\pi}{8}\, \therefore\, \ni \, \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\]
\( k=-1 \) \[x_1=\dfrac{5\pi}{8}+(-1)\dfrac{\pi}{2}= \dfrac{5\pi-4\pi}{8}=\dfrac{\pi}{8}\,\therefore\,\in\, \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\]
\( k=-2 \) \[x_2=\dfrac{5\pi}{8}+(-\bcancel{2})\dfrac{\pi}{\bcancel{2}}= \dfrac{5\pi}{8}-\pi=\dfrac{5\pi-8\pi}{8}=-\dfrac{3\pi}{8}\,\therefore\,\in\, \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\]
Solución: \[S:\left\lbrace -\dfrac{3\pi}{8};\dfrac{\pi}{8} \right\rbrace\]
Los puntos \( (3;5) \) y \( (1;3) \) pertenecen a la gráfica de \( f(x)=\log_2 (ax-1)+b \), hallar \( a \).
\( -1 \)
\( 4 \)
\( -2 \)
\( 3 \)
\( 7 \)
Desarrollo:
\( f(3)=5 \) \[5=\log_2(3a-1)+b\] \[5-\log_2(3a-1) = b_1\]
\( f(1)=3 \) \[3=\log_2(a-1)+b\] \[3-\log_2(a-1) = b_2\]
\( b_1 = b_2 \) \[5-\log_2(3a-1) = 3-\log_2(a-1)\] \[5-3 = \log_2(3a-1)-\log_2(a-1)\] \[2 = \log_2\left(\dfrac{3a-1}{a-1}\right)\] \[2^2 = 2^{\log_2\left(\frac{3a-1}{a-1}\right)}\] \[4 = \dfrac{3a-1}{a-1}\] \[4(a-1) = 3a-1\] \[4a-4 = 3a-1\] \[4a-3a= 4-1\] \[a = 3\]
Comprobación:
\( b_1 \) \[b_1 = 5-\log_2(3a-1)\] \[b_1 = 5-\log_2(9-1)\] \[b_1 = 5-\log_2(8)\] \[b_1 = 5-3\] \[b_1 = 2\]
\( b_2 \) \[b_2 = 3-\log_2(a-1)\] \[b_2 = 3-\log_2(3-1)\] \[b_2 = 3-\log_2(2)\] \[b_2 = 3-1\] \[b_2 = 2\]
\[\boxed{\therefore \, b_1 = b_2}\]
La función lineal es \(f(x)=-\mathbf{a}x+2\) y cumple que \(f(4)-f(2)=-8\). ¿Valor de \(\textbf{a}\)?
\( a=-8 \)
\( a=-3 \)
\( a=4 \)
\( a=\dfrac{4}{3} \)
\( a=-4 \)
\[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,\left(-\mathbf{a}(4)+2\right)-\left(-\mathbf{a}(2)+2\right)=-8\] \[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,-4\mathbf{a}\cancel{+2} +2\mathbf{a}\cancel{-2}=-8\] \[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,-2\mathbf{a}=-8\] \[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,\mathbf{a}=\dfrac{-8}{-2}\] \[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,\mathbf{a}=4\] Comprobación, \( f(x)=-4x+2 \): \[f(4)=-4(4)+2=-16+2=-14\] \[f(2)=-4(2)+2=-8+2=-6\] \[\therefore\,f(4)-f(2)=-14-(-6)=-14+6=-8\]
Considera las funciones \( f(x)= e^{3x-1}\,g(x)=x^2+2 \, h(x)=(g \circ f)(x) \). La fórmula de \(h(x)\).
\(e^{9x-1}+2\)
\(x^2e^{3x}+2\)
\(e^{3x^2}+1\)
\(e^{2(3x-1)}+2\)
\(e^{3(x^2+2)}-1\)
\[h(x)=(g \circ f)(x)= g(f(x))= (f(x))^2+2= \left(e^{3x-1}\right)^2+2\] \[h(x)= e^{2(3x-1)}+2\]
Un número real \( \textbf{k} \) cumple que la distancia \( \textbf{3k} \) y \( 6 \) es menor que \( 9 \) y \( \textbf{k} \) pertenece al conjunto \( (-\infty;3]\cup[9;+\infty) \). El conjunto de todos los valores de \( \textbf{k} \) que cumplen las dos condiciones anteriores.
\((-1;5)\)
\((-1;3]\)
\((-\infty;5)\)
\([0;3]\)
\((-1;3)\)
\[\lvert3k-6\rvert<9\;\wedge\;k\leqslant 3\,\vee\,k\geqslant9\] \[3k-6<9 \, \wedge \, 3k-6>-9 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[3k<9+6 \, \wedge \, 3k>-9+6 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[3k<15 \, \wedge \, 3k>-3 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[k<\dfrac{15}{3} \, \wedge \, k>-\dfrac{3}{3} \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[k<5 \, \wedge \, k>-1 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[-1<k<5 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[\Rightarrow \, -1<k \leqslant 3\] \[\therefore \, C_s=(-1;3]\]
Una empresa tiene un ingreso mensual de \$ 120 por cada unidad vendida de un determinado producto. El costo fijo mensual es de \$ 48.000 y el costo variable de \$ 48 por unidad. La cantidad de unidades x que se necesitan vender por mes para que el ingreso sea inferior al doble de costo total cumple la siguiente relación:
\( 0 \leqslant x < 40 \)
\( x < 4000 \)
\( 0 \leqslant x \leqslant 4000 \)
\( 0 < x < 4000 \)
\( x \leqslant 4000 \)
Costo total= Costo Fijo + Costo Variable: \( C(x)= 48000 + 48x \) Ingreso(precio por unidad): \( I(x)=120x \) \[I(x)< 2 C(x)\] \[120x < 2(48000 +48x)\] \[\dfrac{120x}{2} < 48000 +48x\] \[60x-48x < 48000\] \[12x < 48000\] \[x < \dfrac{48000}{12}\] \[x < 4000\] \[\Rightarrow\, x > 0 \quad \therefore\; 0< x < 4000\]
La función inversa de la función lineal \( \textbf{f} \) que satisface que \(f ( 2 ) = 0 \) y \( f ( 1 ) = 2 \) es:
\( f^{-1}(x)= 2x + 4 \)
\( f^{-1}(x)= -3x + 5 \)
\( f^{-1}(x)= -x + 3 \)
\( f^{-1}(x)= -\dfrac{x}{2} + \dfrac{5}{2} \)
\( f^{-1}(x)= -5x + 10 \)
Datos:
\( f(2)=0 \,\Rightarrow\, P_1=(2;0) \)
\( f(1)=2 \,\Rightarrow\, P_2=(0;2) \)
Fórmula de la recta: \( f(x)=ax+b \) \[f(x)_a= \left\{ \begin{array}{c} a(2)+b=0 \\ - \\ a(1)+b=2 \end{array}\right\rbrace \Rightarrow\, a=-2\] \[f(x)_b\] \[f(2)=0\,\Leftrightarrow -2(2)+b=0\] \[f(2)=0\,\Leftrightarrow -4+b=0\] \[f(2)=0\,\Leftrightarrow b=4\] \[f(1)=2\,\Leftrightarrow -2(1)+b=2\] \[f(1)=2\,\Leftrightarrow -2+b=2\] \[f(1)=2\,\Leftrightarrow b=4\]
\[\boxed{\therefore\, f^{-1}(x)=-2x+4}\]
La función \( \textbf{f} \) es una función cuadrática que verifica \( Im_f= [-1;+\infty) \), crece en el intervalo \( (2;+\infty) \) y su ordenada al origen es \( 3 \). La fórmula de \( \textbf{f} \) es:
\( f(x)= x^2 -4x +3 \)
\( f(x)= x^2 +4x +3 \)
\( f(x)= (x+1)(x-3) \)
\( f(x)= (x+2)^2 -1 \)
\( f(x)= -(x-1)(x+3) \)
La función \( \textbf{f} \) crece en \( (2;+\infty) \), por lo tanto \( x_v=2 \)
\( Im_f= [-1;+\infty)\,\therefore\, y_v=-1 \)
Fórmula función canónica: \( y= a(x -2)^2 -1 \), y la ordenada al origen es \( 3 \)
\( \therefore\; y=3 \, \Leftrightarrow \, x=0 \)
Despejamos \( \textbf{a} \): \[y=3 \, \Leftrightarrow \, 3=a((0) -2)^2 -1\] \[y=3 \, \Leftrightarrow \, 3=4a -1\] \[y=3 \, \Leftrightarrow \, 4=4a\] \[y=3 \, \Leftrightarrow \, 1=a\]
La función: \[f(x)=(x-2)^2-1\] \[f(x)=(x^2-4x+4)-1\] \[f(x)=x^2-4x+3\]
El conjunto de negatividad de la función \( f(x)=\dfrac{-9x^2}{3x^2-\frac{1}{3}} \) es:
\( \left(\dfrac{1}{3};+\infty\right) \)
\( (-\infty;0)\cup \left(\dfrac{1}{3};+\infty\right) \)
\( \left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right)\cup\left(\dfrac{1}{3};+\infty\right) \)
\( \left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right)\cup (0;+\infty) \)
\( \left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right) \)
\( Dom_f \) \[3x^2-\dfrac{1}{3}\neq 0\] \[\Rightarrow\,3x^2-\dfrac{1}{3}= 0\] \[\Rightarrow\,3x^2=\dfrac{1}{3}\] \[\Rightarrow\,x^2=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\] \[\Rightarrow\,\sqrt{x^2}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}\] \[\therefore\,\abs{x}=\dfrac{1}{3}\, \Rightarrow\, x=-\dfrac{1}{3}\, \vee \, x=\dfrac{1}{3}\] \[Dom_f: \mathbb{R}-\left\lbrace -\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right\rbrace\]
\( f(x)<0 \), para encontrar el \( C_- \) analizamos el signo de la función racional. \[f(x)=\dfrac{-9x^2}{3x^2-\frac{1}{3}}=\dfrac{(-)}{(+)}\] Por lo que ya sabemos que esta relación debe ser permanente en el \( C_- \), o que el denominador sea \( >0 \), positivo. \[\Rightarrow\,3x^2-\dfrac{1}{3} >0\] \[\Rightarrow\,3x^2 > \dfrac{1}{3}\] \[\Rightarrow\,x^2 > \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3}\] \[\Rightarrow\,x^2 > \dfrac{1}{9}\] \[\Rightarrow\,\sqrt{x^2} > \sqrt{\dfrac{1}{9}}\] \[\Rightarrow\,\abs{x} > \dfrac{1}{3}\; \therefore\, x>\dfrac{1}{3} \, \vee\, x<-\dfrac{1}{3}\] \[C_-:\left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right)\cup\left(\dfrac{1}{3};+\infty\right)\]
sábado, 25 de julio de 2015
Respuestas Recuperatorio, primer parcial. (T-2_1C_2015)
\(\renewcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}\)
RtasRecup. 1º parcial Tema2_1C2015.
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