Ejercicios del Modelo de Parcial de Opción Múltiple.

Modelo de Parcial de Opción Múltiple, primer cuatrimestre 2015. 

 

---

1. Si \(f(x)=\dfrac{x-1}{ax+3}\) y \(f'(0)=1\) entonces ’a’ es igual a: \(-6;-3;0;3;6\)
   \[f'(x)=\left(\dfrac{x-1}{ax+3}\right)'=\dfrac{(ax+3)-a(x-1)}{(ax+3)^2}=\dfrac{3+a}{(ax+3)^2}\] \[f'(0)=1 \Leftrightarrow\; \dfrac{3+a}{(a(0)+3)^2}=1\] \[f'(0)=1 \Leftrightarrow\; \dfrac{3+a}{9}=1\] \[f'(0)=1 \Leftrightarrow\; 3+a=9\] \[f'(0)=1 \Leftrightarrow\; a=6\] Comprobación: \[f'(0)=\dfrac{3+(6)}{\left[(6(0))+3\right]^2}=\dfrac{9}{9}=1\]

---

2. La derivada de la función f es \(f'(x)=(3x+1)^{\frac{1}{2}}\) y además es \(f(0)=1\).
   \[F(x)=\int f(x)\,dx= \int (3x+1)^{\frac{1}{2}}dx\] Sustitución, \(u=3x+1\); \(du=3dx\) entonces \(dx=\dfrac{du}{3}\). Reemplazamos: \[\int (3x+1)^{\frac{1}{2}}dx = \int (u)^{\frac{1}{2}}\dfrac{du}{3}= \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}(u)^{\frac{3}{2}}+C = \dfrac{2}{9}(3x+1)^{\frac{3}{2}}+C\] Averiguamos C con \(f(0)=1\):
   \[f(0)=1 \Leftrightarrow\, \dfrac{2}{9}(3(0)+1)^{\frac{3}{2}}+C =1\] \[f(0)=1 \Leftrightarrow\, \dfrac{2}{9}\cdot 1+C =1\] \[f(0)=1 \Leftrightarrow\, C =1-\dfrac{2}{9}\] \[f(0)=1 \Leftrightarrow\, C =\dfrac{7}{9}\] \[\therefore\; F(x)=\dfrac{2}{9}(3x+1)^{\frac{3}{2}}+\dfrac{7}{9} \quad \textit{Opción 3}\]

---

3. El área de la región determinada por las curvas \(y=x^3\) e \(y=4x\):
   Datos:
   
   • \(f(x)=x^3\)
   • \(g(x)=4x\)
     Intersección, \(f(x)=g(x)\): \[x^3=4x\] \[x^3-4x=0\] \[x(x^2-4)=0\] \[x(x+2)(x-2)=0\] \[\Rightarrow\, x=0\, \vee \, x=-2 \, \vee \, x=2\]
   El signo de los intervalos: \((-\infty;-2)(-2;0)(0;2)(2;+\infty)\) nos interesa desde \(-2\) hasta \(2\). \[(-2;0): f(-1)=-1 \,\wedge\, g(-1)=-4 \; \therefore f(x)> g(x)\] \[(0;2): f(1)=1 \,\wedge\, g(1)=4 \, \therefore f(x)<g(x)\] \[A(r)=F(x)=\int_{-2}^{0} (f(x)-g(x))dx+ \int_{0}^{2}(g(x)-f(x))dx=\] \[=\int_{-2}^{0}(x^3-4x)dx+\int_{0}^{2}(4x-x^3)dx \quad \textbf{Opción 3}\]

---

4. El área de región determinada por las curvas \(y=x^2+9\); \(y=-x^2+9\) y la recta \(x=4\). Datos:
   
   • \(f(x)=x^2+9\)
   • \(g(x)=-x^2+9\)
   Directamente el signo con \(x=4\) (Límite superior):
   \[f(4)=(4)^2+9= 25\] \[g(4)=-(4)^2+9= 5\] \[\therefore \quad f(4)>g(4)\]
   Interseccion:
   \[x^2+9=-x^2+9\] \[2x^2=0 \, \Rightarrow\, x=0 \quad \texttt{Límite inferior}\] Área de la región: \[A(r)=F(x)=\int_{0}^{4}(f(x)-g(x))dx= \int_{0}^{4} (x^2+9-(-x^2+9))dx=\cdots\\
   \cdots=\int_{0}^{4} (x^2\cancel{+9}+x^2\cancel{-9})dx=\cdots\] \[\cdots= \int_{0}^{4} 2x^2dx= \left. \dfrac{2}{3}x^3 \right |_{0}^{4}= \dfrac{2}{3}(4)^3-0= \dfrac{128}{3}\]

---

5. Si \(f(x)=k.sen(x)\) con \(k \in \mathsf{R}\), entonces \(f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4\). \[f'(x)=kcos(x)\] \[f''(x)=k(-sen(x))=-ksen(x)\] \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4 \, \Leftrightarrow\, -ksen\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4\] \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4 \, \Leftrightarrow\, ksen\left(\frac{\pi}{2}\right)=4\] \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4 \, \Leftrightarrow\, k\cdot(1)=4\] \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4 \, \Leftrightarrow\, k=4\] Comprobación:
   \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4\cdot \overset{1}{\overbrace{sen\left(\frac{\pi}{2}\right)}}=-4\]

---

6. La derivada de la función f es \(f'(x)=\dfrac{x+2}{x-1}\). La función f alcanza un máximo en:
   Puntos Criticos de f’: \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow \;\dfrac{x+2}{x-1}=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow \;x+2=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow \;x=-2\] Criterio de la segunda derivada: \[f''(x)=\dfrac{x-1-(x+2)}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\] \[f''(-2)= \dfrac{-3}{((-2)-1)^2}=\dfrac{-3}{9}= -\dfrac{1}{3}\] \[f''(-2)<0 \; \therefore \textsf{P.máx}: x=-2\]

---

7. La ecuación de la recta tangente a \(f(x)=2x^2+x\) en el punto de abscisa \(x=1\).
   Fórmula: \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\); y \(a=1\)
   
   • \(f(a)\) \[f(1)=2(1)^2+(1)=3\]
   • \(f'(a)\) \[f'(x)=2(x^2)'+(x)'=4x+1\] \[f'(1)= 5\]
   Reemplazando:
   \[y-3=5(x-1)\quad \textsf{Opción 1}\]

---

8. La función \(g(x)=e^{-3x-2}\) es decreciente en:
   Criterio de la primera derivada:
   \[g'(x)=\left(e^{-3x-2}\right)'= e^{-3x-2}.-3=-3e^{-3x-2}\]
   \[g(-1)=-3e^{-3(-1)-2}=-3e \; \Rightarrow \, g'(x)<0\] \[g(0)=-3e^{-3(0)-2}=-3e^0=-3 \; \Rightarrow \, g'(x)<0\] \[g(1)=-3e^{-3(1)-2}=-3e^{-5}=-\dfrac{3}{e^5} \; \Rightarrow \, g'(x)<0\]
   \[(-3 <0)\cdot(e^{-3x-2}>0)= x<0\] \[\therefore g(x)\, \texttt{es absolutamente decreciente } \forall x \in \mathbf{R}\].

---

9. La derivada de f es \(f'(x)=x^3-x\), luego la función tiene mínimos en:
   Puntos Críticos:
   \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow\, x^3-x=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow\, x(x^2-1)=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow\, x(x-1)(x+1)=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow\, x=0\, \vee \, x=1\, \vee\, x=-1\]
   Criterio de la segunda derivada:
   \[f''(x)=3x^2-1\] \[f''(0)=3(0)^2-1=-1\] \[f''(1)=3(1)^2-1= 2\] \[f''(-1)=3(-1)^2-1= 2\]
   \[\therefore \textsf{Máx.}: x=0 \; \wedge \textsf{Mín.}: x=-1\, \wedge\, x=1\]
   Los puntos por la integral:
   \[\int(x^3-x)dx= \dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}; \; C=0\]
   \[F(0)=0\, \Rightarrow\, \textsf{Máx}:(0;0)\] \[F(-1)= \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}\, \Rightarrow\, \textsf{Mín}_0:\left(-1;-\dfrac{1}{4}\right)\] \[F(1)= \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}\, \Rightarrow\, \textsf{Mín}_1:\left(-1;-\dfrac{1}{4}\right)\]

---

10. \(\int 5xe^{-2x^2}\) es igual a:
    \[\int 5xe^{-2x^2} \, dx\]
    Sustitución \(u=-2x^2\), entonces \(du=-4xdx\) por lo que \(dx=-\dfrac{du}{4x}\)
    \[\int 5xe^{-2x^2} \, dx = \int 5x e^u \left(-\dfrac{du}{4x}\right)=-\dfrac{5}{4}\int e^u du= -\dfrac{5}{4} e^u + C = -\dfrac{5}{4} e^{-2x^2} + C\]