sábado, 25 de julio de 2015

Respuestas Recuperatorio, primer parcial. (T-2_1C_2015)

\(\renewcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}\)

RtasRecup. 1º parcial Tema2_1C2015.

  1. Las ecuaciones de las asíntotas de la función \(f(x)=\dfrac{3+2x}{x-3}\) son:

    • A.V. \( x=3 \)

      A.H. \( y=-3 \)

    • A.V. \( x=-3 \)

      A.H. \( y=\dfrac{2}{3} \)

    • A.V. \( x=3 \)

      A.H. \( y=2 \)

    • A.V. \( x=3 \)

      A.H. \( y=\dfrac{3}{2} \)

    • A.V. \( x=2 \)

      A.H. \( y=3 \)

      Desarrollo:

      • \(x-3=0\) \[x=3\] Ecuación de la asíntota: \[\lim_{x\to 3}\dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{9}{0}=\infty\]

        • \(x \to 3^+\) \[\lim_{x\to 3^+}\dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{9^+}{0^+}=\dfrac{(+)}{(+)}=+\infty\]

        • \(x \to 3^-\) \[\lim_{x\to 3^-}\dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{9^- }{0^-}=\dfrac{(+)}{(-)}=-\infty\]

        \(\boxed{ \therefore \exists \text{ A.V. }x=3}\)

      • \(x \to \infty\) \[\lim_{x \to \infty} \dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{\infty}{\infty}\]

        • Para resolver la indeterminación, buscamos la función equivalente: \[\lim_{x \to \infty} \dfrac{3+2x}{x-3}=\dfrac{\infty}{\infty}\, \Rightarrow\, \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3}{x}+\frac{2x}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{3}{x}}= \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3}{x}+2}{1-\frac{3}{x}}\] \[\Rightarrow\, \lim_{x \to \infty} \dfrac{\overset{\to 0}{\frac{3}{\infty}}+2}{1-\underset{\to 0}{\frac{3}{\infty}}}=2\]

        \(\boxed{\therefore\, \exists \text{ A.H. } y=2}\)

  2. Los puntos del intervalo \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\) en los que la función \(f(x)=-2\sin (4x-\pi)\) alcanza sus valores máximos

    • Los máximos (y mínimos) los define la amplitud \(\abs{a}\): \( a\cdot\sin(4x-\pi) \) que modifica el rango de \( \sin \)

      • \( x=-\dfrac{\pi}{8}\, \vee\, x=\dfrac{3\pi}{8} \)

      • \( x=-\dfrac{7\pi}{24}\, \vee\, x=\dfrac{5\pi}{24} \)

      • \( x=\dfrac{3\pi}{8}\, \vee\, x=\dfrac{\pi}{8} \)

      • \( x=\dfrac{5\pi}{24}\, \vee\, x=\dfrac{7\pi}{24} \)

      • \( x=\dfrac{3\pi}{8}\, \vee\, x=\dfrac{\pi}{8} \)

        Desarrollo:

        • Rango del \( \sin \)\[Im_{\sin}\left[-1;1\right]\]

        • Rango de \( f(x) \) \[\therefore \abs{a}=\lvert-2\rvert \Rightarrow \left[\left(-\lvert1\rvert\cdot\lvert-2\rvert\right);\left(\lvert1\rvert\cdot\lvert-2\rvert\right)\right]= [-2;2]\] \[Im_{f}=[-2;2]\]

        \[f(x)=2 \, \textsf{ son los máximos.}\] \[f(x)=2 \,\Leftrightarrow\, -2\sin (4x-\pi)=2\] \[f(x)=2 \,\Leftrightarrow\, \sin (\underset{u}{\underbrace{4x-\pi}})=-\underset{1}{\cancel{\dfrac{2}{2}}}\] Sustitución: \[\Rightarrow\, \sin u =-1 \quad \therefore u =\dfrac{3\pi}{2}\] Período o frecuencia T: \[\therefore u =\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\, \Rightarrow\, (4x-\pi)=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi \Rightarrow 4x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi+\pi\] \[\Rightarrow x=\left(\dfrac{5\pi}{2}+2k\pi\right)\cdot \dfrac{1}{4}\, \Rightarrow\, x=\dfrac{5\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})\]

      • Los valores de \( k\;(k \in \mathbb{Z}) \):

        • \( k=0 \) \[x_0=\dfrac{5\pi}{8}+(0)\dfrac{\pi}{2}= \dfrac{5\pi}{8}\, \therefore\, \ni \, \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\]

        • \( k=-1 \) \[x_1=\dfrac{5\pi}{8}+(-1)\dfrac{\pi}{2}= \dfrac{5\pi-4\pi}{8}=\dfrac{\pi}{8}\,\therefore\,\in\, \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\]

        • \( k=-2 \) \[x_2=\dfrac{5\pi}{8}+(-\bcancel{2})\dfrac{\pi}{\bcancel{2}}= \dfrac{5\pi}{8}-\pi=\dfrac{5\pi-8\pi}{8}=-\dfrac{3\pi}{8}\,\therefore\,\in\, \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\]

        • Solución: \[S:\left\lbrace -\dfrac{3\pi}{8};\dfrac{\pi}{8} \right\rbrace\]

  3. Los puntos \( (3;5) \) y \( (1;3) \) pertenecen a la gráfica de \( f(x)=\log_2 (ax-1)+b \), hallar \( a \).

    • \( -1 \)

    • \( 4 \)

    • \( -2 \)

    • \( 3 \)

    • \( 7 \)

      Desarrollo:

      • \( f(3)=5 \) \[5=\log_2(3a-1)+b\] \[5-\log_2(3a-1) = b_1\]

      • \( f(1)=3 \) \[3=\log_2(a-1)+b\] \[3-\log_2(a-1) = b_2\]

      • \( b_1 = b_2 \) \[5-\log_2(3a-1) = 3-\log_2(a-1)\] \[5-3 = \log_2(3a-1)-\log_2(a-1)\] \[2 = \log_2\left(\dfrac{3a-1}{a-1}\right)\] \[2^2 = 2^{\log_2\left(\frac{3a-1}{a-1}\right)}\] \[4 = \dfrac{3a-1}{a-1}\] \[4(a-1) = 3a-1\] \[4a-4 = 3a-1\] \[4a-3a= 4-1\] \[a = 3\]

      • Comprobación:

        • \( b_1 \) \[b_1 = 5-\log_2(3a-1)\] \[b_1 = 5-\log_2(9-1)\] \[b_1 = 5-\log_2(8)\] \[b_1 = 5-3\] \[b_1 = 2\]

        • \( b_2 \) \[b_2 = 3-\log_2(a-1)\] \[b_2 = 3-\log_2(3-1)\] \[b_2 = 3-\log_2(2)\] \[b_2 = 3-1\] \[b_2 = 2\]

      • \[\boxed{\therefore \, b_1 = b_2}\]

  4. La función lineal es \(f(x)=-\mathbf{a}x+2\) y cumple que \(f(4)-f(2)=-8\). ¿Valor de \(\textbf{a}\)?

    • \( a=-8 \)

    • \( a=-3 \)

    • \( a=4 \)

    • \( a=\dfrac{4}{3} \)

    • \( a=-4 \)

    \[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,\left(-\mathbf{a}(4)+2\right)-\left(-\mathbf{a}(2)+2\right)=-8\] \[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,-4\mathbf{a}\cancel{+2} +2\mathbf{a}\cancel{-2}=-8\] \[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,-2\mathbf{a}=-8\] \[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,\mathbf{a}=\dfrac{-8}{-2}\] \[f(4)-f(2)=-8\,\Leftrightarrow\,\mathbf{a}=4\] Comprobación, \( f(x)=-4x+2 \): \[f(4)=-4(4)+2=-16+2=-14\] \[f(2)=-4(2)+2=-8+2=-6\] \[\therefore\,f(4)-f(2)=-14-(-6)=-14+6=-8\]

  5. Considera las funciones \( f(x)= e^{3x-1}\,g(x)=x^2+2 \, h(x)=(g \circ f)(x) \). La fórmula de \(h(x)\).

    • \(e^{9x-1}+2\)

    • \(x^2e^{3x}+2\)

    • \(e^{3x^2}+1\)

    • \(e^{2(3x-1)}+2\)

    • \(e^{3(x^2+2)}-1\)

    \[h(x)=(g \circ f)(x)= g(f(x))= (f(x))^2+2= \left(e^{3x-1}\right)^2+2\] \[h(x)= e^{2(3x-1)}+2\]

  6. Un número real \( \textbf{k} \) cumple que la distancia \( \textbf{3k} \) y \( 6 \) es menor que \( 9 \) y \( \textbf{k} \) pertenece al conjunto \( (-\infty;3]\cup[9;+\infty) \). El conjunto de todos los valores de \( \textbf{k} \) que cumplen las dos condiciones anteriores.

    • \((-1;5)\)

    • \((-1;3]\)

    • \((-\infty;5)\)

    • \([0;3]\)

    • \((-1;3)\)

    \[\lvert3k-6\rvert<9\;\wedge\;k\leqslant 3\,\vee\,k\geqslant9\] \[3k-6<9 \, \wedge \, 3k-6>-9 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[3k<9+6 \, \wedge \, 3k>-9+6 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[3k<15 \, \wedge \, 3k>-3 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[k<\dfrac{15}{3} \, \wedge \, k>-\dfrac{3}{3} \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[k<5 \, \wedge \, k>-1 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[-1<k<5 \quad \wedge \quad k\leqslant 3 \, \vee \, k \geqslant 9\] \[\Rightarrow \, -1<k \leqslant 3\] \[\therefore \, C_s=(-1;3]\]

  7. Una empresa tiene un ingreso mensual de \$ 120 por cada unidad vendida de un determinado producto. El costo fijo mensual es de \$ 48.000 y el costo variable de \$ 48 por unidad. La cantidad de unidades x que se necesitan vender por mes para que el ingreso sea inferior al doble de costo total cumple la siguiente relación:

    • \( 0 \leqslant x < 40 \)

    • \( x < 4000 \)

    • \( 0 \leqslant x \leqslant 4000 \)

    • \( 0 < x < 4000 \)

    • \( x \leqslant 4000 \)

    Costo total= Costo Fijo + Costo Variable: \( C(x)= 48000 + 48x \) Ingreso(precio por unidad): \( I(x)=120x \) \[I(x)< 2 C(x)\] \[120x < 2(48000 +48x)\] \[\dfrac{120x}{2} < 48000 +48x\] \[60x-48x < 48000\] \[12x < 48000\] \[x < \dfrac{48000}{12}\] \[x < 4000\] \[\Rightarrow\, x > 0 \quad \therefore\; 0< x < 4000\]

  8. La función inversa de la función lineal \( \textbf{f} \) que satisface que \(f ( 2 ) = 0 \) y \( f ( 1 ) = 2 \) es:

    • \( f^{-1}(x)= 2x + 4 \)

    • \( f^{-1}(x)= -3x + 5 \)

    • \( f^{-1}(x)= -x + 3 \)

    • \( f^{-1}(x)= -\dfrac{x}{2} + \dfrac{5}{2} \)

    • \( f^{-1}(x)= -5x + 10 \)

      Datos:

      • \( f(2)=0 \,\Rightarrow\, P_1=(2;0) \)

      • \( f(1)=2 \,\Rightarrow\, P_2=(0;2) \)

      Fórmula de la recta: \( f(x)=ax+b \) \[f(x)_a= \left\{ \begin{array}{c} a(2)+b=0 \\ - \\ a(1)+b=2 \end{array}\right\rbrace \Rightarrow\, a=-2\] \[f(x)_b\] \[f(2)=0\,\Leftrightarrow -2(2)+b=0\] \[f(2)=0\,\Leftrightarrow -4+b=0\] \[f(2)=0\,\Leftrightarrow b=4\] \[f(1)=2\,\Leftrightarrow -2(1)+b=2\] \[f(1)=2\,\Leftrightarrow -2+b=2\] \[f(1)=2\,\Leftrightarrow b=4\]

    \[\boxed{\therefore\, f^{-1}(x)=-2x+4}\]

  9. La función \( \textbf{f} \) es una función cuadrática que verifica \( Im_f= [-1;+\infty) \), crece en el intervalo \( (2;+\infty) \) y su ordenada al origen es \( 3 \). La fórmula de \( \textbf{f} \) es:

    • \( f(x)= x^2 -4x +3 \)

    • \( f(x)= x^2 +4x +3 \)

    • \( f(x)= (x+1)(x-3) \)

    • \( f(x)= (x+2)^2 -1 \)

    • \( f(x)= -(x-1)(x+3) \)

    La función \( \textbf{f} \) crece en \( (2;+\infty) \), por lo tanto \( x_v=2 \)

    \( Im_f= [-1;+\infty)\,\therefore\, y_v=-1 \)

    Fórmula función canónica: \( y= a(x -2)^2 -1 \), y la ordenada al origen es \( 3 \)

    \( \therefore\; y=3 \, \Leftrightarrow \, x=0 \)

    Despejamos \( \textbf{a} \): \[y=3 \, \Leftrightarrow \, 3=a((0) -2)^2 -1\] \[y=3 \, \Leftrightarrow \, 3=4a -1\] \[y=3 \, \Leftrightarrow \, 4=4a\] \[y=3 \, \Leftrightarrow \, 1=a\]

    La función: \[f(x)=(x-2)^2-1\] \[f(x)=(x^2-4x+4)-1\] \[f(x)=x^2-4x+3\]

  10. El conjunto de negatividad de la función \( f(x)=\dfrac{-9x^2}{3x^2-\frac{1}{3}} \) es:

    • \( \left(\dfrac{1}{3};+\infty\right) \)

    • \( (-\infty;0)\cup \left(\dfrac{1}{3};+\infty\right) \)

    • \( \left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right)\cup\left(\dfrac{1}{3};+\infty\right) \)

    • \( \left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right)\cup (0;+\infty) \)

    • \( \left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right) \)

      • \( Dom_f \) \[3x^2-\dfrac{1}{3}\neq 0\] \[\Rightarrow\,3x^2-\dfrac{1}{3}= 0\] \[\Rightarrow\,3x^2=\dfrac{1}{3}\] \[\Rightarrow\,x^2=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\] \[\Rightarrow\,\sqrt{x^2}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}\] \[\therefore\,\abs{x}=\dfrac{1}{3}\, \Rightarrow\, x=-\dfrac{1}{3}\, \vee \, x=\dfrac{1}{3}\] \[Dom_f: \mathbb{R}-\left\lbrace -\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right\rbrace\]

      • \( f(x)<0 \), para encontrar el \( C_- \) analizamos el signo de la función racional. \[f(x)=\dfrac{-9x^2}{3x^2-\frac{1}{3}}=\dfrac{(-)}{(+)}\] Por lo que ya sabemos que esta relación debe ser permanente en el \( C_- \), o que el denominador sea \( >0 \), positivo. \[\Rightarrow\,3x^2-\dfrac{1}{3} >0\] \[\Rightarrow\,3x^2 > \dfrac{1}{3}\] \[\Rightarrow\,x^2 > \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3}\] \[\Rightarrow\,x^2 > \dfrac{1}{9}\] \[\Rightarrow\,\sqrt{x^2} > \sqrt{\dfrac{1}{9}}\] \[\Rightarrow\,\abs{x} > \dfrac{1}{3}\; \therefore\, x>\dfrac{1}{3} \, \vee\, x<-\dfrac{1}{3}\] \[C_-:\left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right)\cup\left(\dfrac{1}{3};+\infty\right)\]

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sábado, 11 de julio de 2015

Ejercicios del Modelo de Parcial de Opción Múltiple.

Modelo de Parcial de Opción Múltiple, primer cuatrimestre 2015. 

 

  1. Si \(f(x)=\dfrac{x-1}{ax+3}\) y \(f'(0)=1\) entonces ’a’ es igual a: \(-6;-3;0;3;6\)
    \[f'(x)=\left(\dfrac{x-1}{ax+3}\right)'=\dfrac{(ax+3)-a(x-1)}{(ax+3)^2}=\dfrac{3+a}{(ax+3)^2}\] \[f'(0)=1 \Leftrightarrow\; \dfrac{3+a}{(a(0)+3)^2}=1\] \[f'(0)=1 \Leftrightarrow\; \dfrac{3+a}{9}=1\] \[f'(0)=1 \Leftrightarrow\; 3+a=9\] \[f'(0)=1 \Leftrightarrow\; a=6\] Comprobación: \[f'(0)=\dfrac{3+(6)}{\left[(6(0))+3\right]^2}=\dfrac{9}{9}=1\]
  2. La derivada de la función f es \(f'(x)=(3x+1)^{\frac{1}{2}}\) y además es \(f(0)=1\).
    \[F(x)=\int f(x)\,dx= \int (3x+1)^{\frac{1}{2}}dx\] Sustitución, \(u=3x+1\); \(du=3dx\) entonces \(dx=\dfrac{du}{3}\). Reemplazamos: \[\int (3x+1)^{\frac{1}{2}}dx = \int (u)^{\frac{1}{2}}\dfrac{du}{3}= \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}(u)^{\frac{3}{2}}+C = \dfrac{2}{9}(3x+1)^{\frac{3}{2}}+C\] Averiguamos C con \(f(0)=1\):
    \[f(0)=1 \Leftrightarrow\, \dfrac{2}{9}(3(0)+1)^{\frac{3}{2}}+C =1\] \[f(0)=1 \Leftrightarrow\, \dfrac{2}{9}\cdot 1+C =1\] \[f(0)=1 \Leftrightarrow\, C =1-\dfrac{2}{9}\] \[f(0)=1 \Leftrightarrow\, C =\dfrac{7}{9}\] \[\therefore\; F(x)=\dfrac{2}{9}(3x+1)^{\frac{3}{2}}+\dfrac{7}{9} \quad \textit{Opción 3}\]
  3. El área de la región determinada por las curvas \(y=x^3\) e \(y=4x\):
    Datos:
    • \(f(x)=x^3\)
    • \(g(x)=4x\)
      Intersección, \(f(x)=g(x)\): \[x^3=4x\] \[x^3-4x=0\] \[x(x^2-4)=0\] \[x(x+2)(x-2)=0\] \[\Rightarrow\, x=0\, \vee \, x=-2 \, \vee \, x=2\]
    El signo de los intervalos: \((-\infty;-2)(-2;0)(0;2)(2;+\infty)\) nos interesa desde \(-2\) hasta \(2\). \[(-2;0): f(-1)=-1 \,\wedge\, g(-1)=-4 \; \therefore f(x)> g(x)\] \[(0;2): f(1)=1 \,\wedge\, g(1)=4 \, \therefore f(x)<g(x)\] \[A(r)=F(x)=\int_{-2}^{0} (f(x)-g(x))dx+ \int_{0}^{2}(g(x)-f(x))dx=\] \[=\int_{-2}^{0}(x^3-4x)dx+\int_{0}^{2}(4x-x^3)dx \quad \textbf{Opción 3}\]
  4. El área de región determinada por las curvas \(y=x^2+9\); \(y=-x^2+9\) y la recta \(x=4\). Datos:
    • \(f(x)=x^2+9\)
    • \(g(x)=-x^2+9\)
    Directamente el signo con \(x=4\) (Límite superior):
    \[f(4)=(4)^2+9= 25\] \[g(4)=-(4)^2+9= 5\] \[\therefore \quad f(4)>g(4)\]
    Interseccion:
    \[x^2+9=-x^2+9\] \[2x^2=0 \, \Rightarrow\, x=0 \quad \texttt{Límite inferior}\] Área de la región: \[A(r)=F(x)=\int_{0}^{4}(f(x)-g(x))dx= \int_{0}^{4} (x^2+9-(-x^2+9))dx=\cdots\\
    \cdots=\int_{0}^{4} (x^2\cancel{+9}+x^2\cancel{-9})dx=\cdots\]     \[\cdots= \int_{0}^{4} 2x^2dx= \left. \dfrac{2}{3}x^3 \right |_{0}^{4}= \dfrac{2}{3}(4)^3-0= \dfrac{128}{3}\]
  5. Si \(f(x)=k.sen(x)\) con \(k \in \mathsf{R}\), entonces \(f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4\). \[f'(x)=kcos(x)\] \[f''(x)=k(-sen(x))=-ksen(x)\] \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4 \, \Leftrightarrow\, -ksen\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4\] \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4 \, \Leftrightarrow\, ksen\left(\frac{\pi}{2}\right)=4\] \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4 \, \Leftrightarrow\, k\cdot(1)=4\] \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4 \, \Leftrightarrow\, k=4\] Comprobación:
    \[f''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4\cdot \overset{1}{\overbrace{sen\left(\frac{\pi}{2}\right)}}=-4\]
  6. La derivada de la función f es \(f'(x)=\dfrac{x+2}{x-1}\). La función f alcanza un máximo en:
    Puntos Criticos de f’: \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow \;\dfrac{x+2}{x-1}=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow \;x+2=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow \;x=-2\] Criterio de la segunda derivada: \[f''(x)=\dfrac{x-1-(x+2)}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\] \[f''(-2)= \dfrac{-3}{((-2)-1)^2}=\dfrac{-3}{9}= -\dfrac{1}{3}\] \[f''(-2)<0 \; \therefore \textsf{P.máx}: x=-2\]
  7. La ecuación de la recta tangente a \(f(x)=2x^2+x\) en el punto de abscisa \(x=1\).
    Fórmula: \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\); y \(a=1\)
    • \(f(a)\) \[f(1)=2(1)^2+(1)=3\]
    • \(f'(a)\) \[f'(x)=2(x^2)'+(x)'=4x+1\] \[f'(1)= 5\]
    Reemplazando:
    \[y-3=5(x-1)\quad \textsf{Opción 1}\]
  8. La función \(g(x)=e^{-3x-2}\) es decreciente en:
    Criterio de la primera derivada:
    \[g'(x)=\left(e^{-3x-2}\right)'= e^{-3x-2}.-3=-3e^{-3x-2}\]
    \[g(-1)=-3e^{-3(-1)-2}=-3e \; \Rightarrow \, g'(x)<0\] \[g(0)=-3e^{-3(0)-2}=-3e^0=-3 \; \Rightarrow \, g'(x)<0\] \[g(1)=-3e^{-3(1)-2}=-3e^{-5}=-\dfrac{3}{e^5} \; \Rightarrow \, g'(x)<0\]
    \[(-3 <0)\cdot(e^{-3x-2}>0)= x<0\] \[\therefore g(x)\, \texttt{es absolutamente decreciente } \forall x \in \mathbf{R}\].
  9. La derivada de f es \(f'(x)=x^3-x\), luego la función tiene mínimos en:
    Puntos Críticos:
    \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow\, x^3-x=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow\, x(x^2-1)=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow\, x(x-1)(x+1)=0\] \[f'(x)=0 \, \Leftrightarrow\, x=0\, \vee \, x=1\, \vee\, x=-1\]
    Criterio de la segunda derivada:
    \[f''(x)=3x^2-1\] \[f''(0)=3(0)^2-1=-1\] \[f''(1)=3(1)^2-1= 2\] \[f''(-1)=3(-1)^2-1= 2\]
    \[\therefore \textsf{Máx.}: x=0 \; \wedge \textsf{Mín.}: x=-1\, \wedge\, x=1\]
    Los puntos por la integral:
    \[\int(x^3-x)dx= \dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}; \; C=0\]
    \[F(0)=0\, \Rightarrow\, \textsf{Máx}:(0;0)\] \[F(-1)= \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}\, \Rightarrow\, \textsf{Mín}_0:\left(-1;-\dfrac{1}{4}\right)\] \[F(1)= \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}\, \Rightarrow\, \textsf{Mín}_1:\left(-1;-\dfrac{1}{4}\right)\]
  10. \(\int 5xe^{-2x^2}\) es igual a:
    \[\int 5xe^{-2x^2} \, dx\]
    Sustitución \(u=-2x^2\), entonces \(du=-4xdx\) por lo que \(dx=-\dfrac{du}{4x}\)
    \[\int 5xe^{-2x^2} \, dx = \int 5x e^u \left(-\dfrac{du}{4x}\right)=-\dfrac{5}{4}\int e^u du= -\dfrac{5}{4} e^u + C = -\dfrac{5}{4} e^{-2x^2} + C\]
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viernes, 10 de julio de 2015

Ejercicios de exámenes 2

\[\displaystyle\int_1^4 \left( \sqrt{x} + f(x)\right)dx=5\] \[\displaystyle\int_1^4 x^{\frac{1}{2}}dx+ \int_1^4 f(x) dx=5\] \[\displaystyle\int_1^4 \dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}dx + \int_1^4 f(x) dx=5\] \[\left. \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} \right |_1^4 +\int_1^4 f(x) dx=5\] \[\left[\left(\dfrac{2(4)^{\frac{3}{2}}}{3}\right)-\left(\dfrac{2(1)^{\frac{3}{2}}}{3}\right)\right] +\int_1^4 f(x) dx=5\] \[\left(\dfrac{16}{3}-\dfrac{2}{3}\right)+\int_1^4 f(x) dx=5\] \[\dfrac{14}{3}+\int_1^4 f(x) dx=5\] \[\int_1^4 f(x) dx=5-\dfrac{14}{3}\] \[\int_1^4 f(x) dx=\dfrac{1}{3}\]
Datos:
  • \(h(x)=(x^3-6x)f(x)\)
  • \(f(1)=5\)
  • \(f'(1)=9\)
Hallar \(h'(1)\) (la derivada de una multiplicación):
\[h'(x)= (x^3-6x)'f(x)+ (x^3-6x)f'(x)\] \[h'(x)=(3x^2-6)f(x)+(x^3-6x)f'(x)\] \[h'(1)=(3(1)^2-6)f(1)+((1)^3-6(1))f'(1)\] \[h'(1)=\left\lbrace [3(1)^2-6]5\right\rbrace +\left\lbrace[(1)^3-6(1)]9 \right\rbrace\] \[h'(1)=[(-3)5]+[(-5)9]\] \[h'(1)=(-15)+(-45)\] \[h'(1)=-60\]

Hallar \(\int_{-1}^{1} f(x)dx=\) \[\int_{-1}^{1} \left[3f(x)-2 \right]dx=4\] \[3\int_{-1}^{1} f(x) dx -2\int_{-1}^{1} dx=4\] \[3\int_{-1}^{1} f(x) dx - \left. 2x \right|_{-1}^{1}=4\] \[3\int_{-1}^{1} f(x) dx -\left[ (2(1))-(2(-1) \right]=4\] \[3\int_{-1}^{1} f(x) dx -4 =4\] \[3\int_{-1}^{1} f(x) dx=4+4\] \[\int_{-1}^{1} f(x) dx=\dfrac{8}{3}\]

Hallar los ceros de \(f\) en \([0;2\pi]\) \[f(x)=0\] \[2\cos^2 (x)+\cos (x)=0\] \[\cos (x)(2\cos (x) +1)=0\] \[\Rightarrow\, \cos (x) = 0 \;\vee\, 2\cos(x)+1=0\] \[\Rightarrow\, \cos (x) = 0 \;\vee\, \cos(x)=-\dfrac{1}{2}\]

  • \(\cos(x)=0\), período de los ceros de \(\cos\) es \(k\pi\) \[x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\quad (k \in \mathbb{Z})\]

    • \(k=0\) \[x_1=\dfrac{\pi}{2}+(0)\pi= \dfrac{\pi}{2}\]

    • \(k=1\) \[x_2=\dfrac{\pi}{2}+(1)\pi=\dfrac{3\pi}{2}\]

  • \(\cos(x)=-\dfrac{1}{2}\), en \(120^o\) y \(240^o\). \[x_3=\dfrac{2\pi}{3} \, \wedge \, x_4=\dfrac{4\pi}{3}\]

¿Para qué valor de k se cumple que el conjunto de negatividad de la función \(f(x)=2^{-k+x}-4\) es igual a \((-\infty;3)\)?

  • En \(x=3\), \(f(x)=0\)

\[f(x)<0\] \[f(3)=0\] \[2^{-k+3}-4=0\] \[2^{-k+3}=4\] \[\log_2 2^{-k+3}=\log_2 4\] \[-k+3=2\] \[-k=2-3\] \[-k(-1)=-1(-1)\] \[k=1\]

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Ejercicio 31, TP5


Ejercicio 31

El planteo es:
¿En qué punto del primer cuadrante, la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) =4-x^2$ determina junto con los ejes coordenados un triángulo de área mínima?
  1.  Área del triangulo:
    $$A=\displaystyle\frac{b.h}{2}$$
  2. Fórmula "punto-pendiente" o fórmula de la Recta Tangente: $$y-y_1=f'(x)=(x-x_1)$$
  3. Cambio $x=a$, para distinguir. $$f(a) =4-a^2\\
    y-f(a)=f'(a)(x-a)$$
  4. Pendiente de la recta tangente con la primera derivada de f(a): $$f'(a)=-2a$$
  5. Punto de la recta tangente en f(a): $$P=(a;(4-a^2))$$
  6. Reemplazando en la fórmla "p-p", despejando y="recta tangente": $$y-(4-a^2)=(-2a)(x-a)\\
    y=(-2a)(x-a)(4-a^2)\longrightarrow\boxed{{y=a^2-2ax+4}}$$
  7. La altura $h=y(x)$, $x=0$: $$ x=0\longrightarrow{y=a^2-2a(0)+4}\longrightarrow{y=a^2+4}\\
    \boxed{h=a^2+4}$$
  8. La base $y=b$, cuando $y=0$: $$0=a^2-2ax+4\\
    \boxed{x=\displaystyle\frac{1}{2}a+\displaystyle\frac{2}{a}}\qquad a\neq{0}$$
  9. Área del triángulo, para obtener la función del área: $$A=\displaystyle\frac{b.h}{2}$$
    • Reemplazando: $$A=\displaystyle\frac{\left( \displaystyle\frac{1}{2}a+\displaystyle\frac{2}{a} \right)\left( a^2+4 \right)  } {2}$$
    •  Función del Área(a): $$A=\displaystyle\frac{1}{4}a^3+2a+\displaystyle\frac{4}{a}\\
      \boxed{A(a)=\displaystyle\frac{1}{4}a^3+2a+\displaystyle\frac{4}{a}}$$
  10. Primera derivada de A(a), para encontrar puntos críticos: $$\boxed{A'(a)=\displaystyle\frac{3}{4}a^2+2-\displaystyle\frac{4}{a^2}}$$
    • Igualo $A'(a)=0$: $$A'(a)=0=\displaystyle\frac{3}{4}a^2+2-\displaystyle\frac{4}{a^2}$$
    • Multiplico ambos mienbros por $a²$: $$0=\displaystyle\frac{3}{4}a^4+2a^2-4$$
    •  Para achicar el exponente $a^2=b$: $$\displaystyle\frac{3}{4}b^2+2b-4=0\\
      b_1=-4 \qquad b_2=\displaystyle\frac{4}{3}\\
      b_1=\textsf{no tiene soluciones en los }\mathbb{R}\\
      b_2=\displaystyle\frac{4}{3}\Rightarrow{a^2=\displaystyle\frac{4}\\
      {3}}\Rightarrow{a_{1;2}=\pm\,{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{4}{3}}}}\\
      a_1=-\displaystyle\frac{2\cdot{}\sqrt[ ]{3}}{3}\qquad a_2=\displaystyle\frac{2\cdot{}\sqrt[ ]{3}}{3}\\
      \textsf{Punto critico para el primer cuadrante: }\boxed{\displaystyle\frac{2\cdot{}\sqrt[ ]{3}}{3}}$$
  11. Comprobación que el punto crítico es el mínimo, segunda derivada: $$\boxed{A''(a)=\displaystyle\frac{3}{2}a+8a^{-3}}\\
    A'' \left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)= \displaystyle\frac{3}{2} \left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right) +8 \left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)^{-3}\\
    A'' \left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)=6,9282...\\
    A''(a)>0\textsf{ hay un minimo en }\boxed{a_1}$$
  12. Imágen de $a$: $$f(a)=4-a^2\; \Rightarrow\, f\left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)=4-  \left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)^2\\
    f\left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)=4- \left(\dfrac{2^2\cdot \sqrt{3^2}}{3^2}\right)\\
    f\left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)= \require{cancel}4 -\left( \dfrac{4\cdot \overset{1}{\cancel{3}}}{\underset{3}{\cancel{9}}}\right)\\
    f\left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)=4-\dfrac{4}{3}\\
    f\left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right)=\dfrac{8}{3}\\
    \therefore \textsf{el punto del primer cuadrante que determina un triángulo de área mínima es: }\\
    \boxed{P= \left[ \left( \displaystyle\frac{2\cdot{\sqrt[ ]{3}}}{3} \right); \dfrac{8}{3}\right]}$$


    Versión libre del ejercicio 31.


    Nos piden el punto que está en el primer cuadrante de la recta tangente a:
    $$f(x)=4-x^2$$

    El punto es de la forma:$(x; (4-x^2))$


    Haciendo la derivada para encontrar la pendiente de la R.T. encuentro una recta paralela a la R.T.:

    $$f'(x)=-2x$$
    Pasa por $(0; 0)$ e interseca a $f(x)=4-x^2$ en el 2º y 4º cuadrante. Por lo tanto una recta $g(x)$ de signo opuesto a la derivada interseca a $f(x)=4-x^2$ en el 1º y 3º:

    $$g(x)=-f'(x)=-(-2x) \Longrightarrow\, g(x)=2x$$

    Entonces hago la intersección $f(x)=g(x)$:

    $$f(x)=g(x)\\
    4-x^2=2x\\
    4-x^2-2x=0$$
    El determinante:$$\triangle = 20 \therefore x \in \mathbb{R}\\ x_1=-1+\dfrac{\sqrt{20}}{2} \approx 1,236; \; \vee \; x_2=-1-\dfrac{\sqrt{20}}{2} \approx -3,236\\
    \therefore x_1 \in \textsf{Pimer Cuadrante}$$
    Haciendo $f(x_1) \vee g(x_1)$ obtengo el mismo valor de y.

    $$f \left(-1+\dfrac{\sqrt{20}}{2} \right) \approx 2.46\\
    g \left(-1+\dfrac{\sqrt{20}}{2} \right) \approx 2.46\\
    f'(x)= \dfrac{2(x+6)(2x-1)-2(x+6)^2}{(2x-1)^2}$$
    Se expande:
    $$f'(x)= \dfrac{4x^2+22x-12-2x^2-24x-72}{(2x-1)^2}\\
    f'(x)= \dfrac{2x^2-2x-84}{(2x-1)^2}$$
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    jueves, 9 de julio de 2015

    Ejercicio 13-c, TP4, UBAXXI

    $\text{13)-c) Determiná}\, x \in [0;5\pi] \text{ tal que }f(x)=\sqrt{2}\text{; si }f(x)=2sen\left(\frac{x}{4}+ \pi\right)$
    $$f(x)=\sqrt{2}\quad\Leftrightarrow\quad 2sen\left(\frac{x}{4}+ \pi\right)=\sqrt{2}\\
    f(x)=\sqrt{2}\quad\Leftrightarrow\quad 2sen\left(\frac{x}{4}+ \pi\right)= \sqrt{2}\\
    f(x)=\sqrt{2}\quad\Leftrightarrow\quad sen\underset{z}{\underbrace{\left(\frac{x}{4}+ \pi\right)}}= \frac{\sqrt{2}}{2}$$
    • z $$z=\left(\frac{x}{4}+ \pi \right)\quad \wedge \quad z \in{\mathbb{R}}\\
      \Rightarrow \quad sen(z)=  \frac{\sqrt{2}}{2}\\
      \Rightarrow \quad z_1= \frac{\pi}{4}\quad \wedge \quad z_2=\frac{3\pi}{4}$$
    • z1 $$z_1=\frac{\pi}{4} \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{x}{4}+ \pi\right)= \frac{\pi}{4}\\
      \frac{x}{4}=\frac{\pi}{4}- \pi\\
      x= -\frac{3\pi}{4}\cdot 4 \; \therefore\, x=-3\pi\\
      \Rightarrow \; x_1=-3\pi+2k\pi \quad (k \in{\mathbb{Z}})$$
    •  z2$$z_2=\frac{3\pi}{4} \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{x}{4}+ \pi\right)= \frac{3\pi}{4}\\
      \frac{x}{4}= \frac{3\pi}{4}-\pi\\
      x= -\frac{\pi}{4}\cdot 4 \; \therefore\, x=-\pi\\
      \Rightarrow \; x_2=-\pi+2k\pi \quad (k \in{\mathbb{Z}})$$

    • Período T:$$T=\frac{2k\pi}{\left| a \right|}\; \wedge\; f(x)=2sen\left(\frac{x}{4}+\pi \right)$$
      $$|a|=\frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad T=\frac{2k\pi}{\frac{1}{4}}=4\cdot\frac{2k\pi}{1}=8k\pi$$
      $$\Rightarrow \quad x_1=-3\pi+8k\pi \quad \wedge \quad x_2=-\pi+8k\pi \quad (k \in{\mathbb{Z}})$$
      $$x_2 < 0 \; \wedge \; x_2>5\pi \text{ para cualquier valor de k.} $$
    • Valores de k: $$k \in [0;5\pi]\\
      \begin{matrix}
      & k & = & 1 & & &\\
      & & x_1 & = & -3\pi + 8\cdot(1)\cdot \pi & = & 5\pi
      \end{matrix}
      $$
      $$x \in{[0;5\pi]}/f(x)=\sqrt{2}:\; \underline{S=\{5\pi\}}$$

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    Ejercicio 7-c del TP4 de UBAXXI

    $\text{7)-c) Todos los valores de x que verifiquen }sen(x)=cos(x)$
    $$sen(x)= cos (x)$$
    $\text{Divido ambos por }cos(x)$
    $$\Rightarrow \; \dfrac{sen(x)}{cos(x)}= \overset{1}{\cancel{\dfrac{cos(x)}{cos(x)}}}\\
    \Rightarrow \; \dfrac{sen(x)}{cos(x)}=  1\\
    \wedge \; \dfrac{sen(x)}{cos(x)}= tan(x)\\
    \therefore \; tan(x)=1 \; \Rightarrow \; x=\dfrac{\pi}{4}$$
    $\text{Entonces los valores de x que verifican }sen(x)=cos(x)\text{ son de la forma:}$
    $$\boxed{ x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi}$$
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    miércoles, 8 de julio de 2015

    Ejercicios de exámenes.

    •  Ejercicio de exámen 1 (con Trigonometría):
      $$2\sin(3x)=\sqrt{3} \text{, en el intervalo: } (\pi;2\pi)$$
      \[2\sin(3x)=\sqrt{3}\; \Rightarrow\;
      \sin(3x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
      \[3x=z\;(z \in{\mathbb{R}}) \quad \Rightarrow \sin(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
      \[z=\frac{\pi}{3}+2k\pi \quad \wedge \quad z=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \quad (k \in{\mathbb{Z}})\]
      \[3x=z \; \Rightarrow \; 3x=\frac{\pi}{3} +2k\pi \; \wedge \; 3x=\frac{2\pi}{3} +2k\pi \]
      \[3 \cdot 3x= 3\cdot \left(\frac{\pi}{3} +2k\pi \right)  \; \wedge \; 3 \cdot 3x= 3 \cdot \left(\frac{2\pi}{3} +2k\pi \right)\]
      \[9x=  \pi +6k\pi  \; \wedge \; 9x= 2\pi +6k\pi\]
      \[x_1=\frac{\pi +6k\pi}{9} \; \wedge \; x_2= \frac{2\pi +6k\pi}{9}\]
      \[\forall \; k \in \; (\pi;2\pi)\; (k \in \mathbb{Z})\]
      \[\begin{matrix}
       k & = & 1 & & & & & & & \\
      && x_1 & = & \frac{\pi +6(1)\pi}{9} & = & \frac{7\pi}{9} & < & \pi & \\
      \\
       & & x_2 & = & \frac{2\pi +6(1)\pi}{9} & = & \frac{8\pi}{9} & < & \pi & \\
      \\
       k & = & 2 &&&&&&& \\
      && x_1 & = & \frac{\pi +6(2)\pi}{9} & = & \frac{13\pi}{9} & > \pi & \wedge & \frac{13\pi}{9} \; < 2\pi\\
      \\
      && x_2 & = & \frac{2\pi +6(2)\pi}{9} & = & \frac{14\pi}{9} & > \pi & \wedge & \frac{14\pi}{9} \; < 2\pi \\
      \end{matrix}
      \]
      \[S= \left\lbrace \frac{13\pi}{9} ; \frac{14\pi}{9} \right\rbrace\] 

    • Ejercicio de exámen 2 (composición de funciones):
      $$\text{1)Averiguar }(g \circ f)\text{ siendo }g(x)= \sqrt{x}\text{ y }f(x)=ln(x-2) \\
      \text{2)Dar el dominio}$$
      $$1º)\,(g \circ f)\\ g \circ f= g(f(x))=h(x) \quad \Rightarrow \quad h(x)= \sqrt{ln(x-2)}\\ 2º)\, Dom_h\\
      h(x)=\sqrt[n]{a} \; \Rightarrow \; a\geqslant 0 \; \Leftrightarrow \; n \text{ es par} \; \Rightarrow \; h(x) \geqslant 0 \\ \Rightarrow\; \sqrt{ln(x-2)} \geqslant 0\\ln(x-2) \geqslant 0\\ e^{ln(x-2)} \geqslant e^0\\ x-2 \geqslant 1\\
      x \geqslant 1+2 \; \Rightarrow \; x \geqslant 3\\ Dom_h=[3;+\infty)$$

    •  Ejercicio de exámen 3:
      $$f(x)=-3sen(2x)\, \text{ Averiguar los máximos y su valor de }x \in [-\pi;\pi]\\
      \text{1)}\underline{\text{ Amplitud}}:\, |A|\\
      |A|=|-3|=3 \; \Rightarrow\; Im_f=[-3;3]\\
      \text{2)} \underline{\text{ Puntos Máximos}}:\\
      f(x)=3 \, \Leftrightarrow\; -3sen(2x)=3\\
      f(x)=3 \, \Leftrightarrow\; sen(2x)=\frac{3}{(-3)}\\
      f(x)=3 \, \Leftrightarrow\;  sen(2x)=-1 \\
      \text{a)}\underline{\text{ Sustitución }}\\
      2x=z \qquad (z \in{\mathbb{R}})\\
      \Rightarrow\; sen(z)=-1 \quad \Rightarrow \, z=\frac{3\pi}{2}\\
      2x=z \; \Rightarrow\; 2x=\frac{3\pi}{2} \; \Rightarrow\; x=\frac{3\pi}{2}\cdot \frac{1}{2}\\
      x=\frac{3\pi}{4}\\
      \underline{\text{Período (T) de f(x)}}:\\
      T=\frac{2\pi}{|a|}\\
      |a|=|2|=2 \; \Rightarrow\; \frac{2\pi}{2}= k\pi \qquad (k \in{\mathbb{Z}})\\
      \underline{\text{Los puntos máximos son de la forma}}:\\
      \boxed{x=\frac{3\pi}{4}+k\pi}\\
      \\
      k \in [-\pi; \pi]\\
      \begin{matrix}
      & k & = & -1 & & & & \\
      & & & x & = & \frac{3\pi}{4}+(-1)\cdot \pi & = & -\frac{\pi}{4}\\
      & k & = & 0 & & & & \\
      & & & x & = & \frac{3\pi}{4}+(0)\cdot \pi & = & \frac{3\pi}{4}\\
      \end{matrix}\\
      P_{Max} \in [-\pi; \pi]: S=\left\lbrace -\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4} \right\rbrace $$

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    Ejercicio 52, del práctico 2º. Matemática UBA XXI


    Para este ejercicio se sugiere en las soluciones que se realice teniendo en cuenta el Teorema de Bolzano, pero es necesario entonces el Teorema del Valor Intermedio. ¡Y se llega más rápido a la solución con Ruffini!

    $$C(x)=53\;\Rightarrow\;\dfrac{x^3}{6}+2x+5=53$$ $$C(0)< C(x)< C(10)$$ $$\text{C es continua en }[0;10]$$ $$C(0) < k < C(10)$$ \[\exists\, x \in (0;10)/C(x)=k\] \[\begin{matrix} \Rightarrow & \exists\; c & \in (a,b) & / f(c) & = & C(c)-k & = & 0 \\ \Rightarrow & \exists\; c & \in (a,b) & / f(c) & = & k & & \end{matrix}\] \[\begin{matrix} f(0) & = & C(0)-53 & < & 0 \\ f(1) & = & C(1)-53 & < & 0 \\ f(2) & = & C(2)-53 & < & 0 \\ f(3) & = & C(3)-53 & < & 0 \\ f(4) & = & C(4)-53 & < & 0 \\ f(5) & = & C(5)-53 & < & 0 \\ f(6) & = & C(6)-53 & = & 0 \end{matrix}\] \[C(6)=\dfrac{1}{6}\cdot (6)^3 + 2\cdot 6 +5 = 36 + 17 = 53\]
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    lunes, 6 de julio de 2015

    Latex versus Math

    Fórmula ejemplo hecha con MathMl (método larguísimo), que utiliza tags (etiquetas) <math> </math>:


    x = − b ± b 2 − 4 ⁢ a ⁢ c 2 ⁢ a

    x = 1 2
    Ecuación escrita en LaTeX, con el comando '\mathbf{}' (math bold font):
    \[\ \mathbf{x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\]
    Fórmula hecha con el código de esta página: http://forobeta.com/blogger/155633-incorporar-formulas-matematicas-blogger.html; con Mathjax. En realidad yo estoy usando el código que provee directamente Mathjax para utilizarlo de forma segura.
    \[\ \int_{-1}^{1}x\, dx= \left. \dfrac{x^2}{2}\right|_{-1}^{1}=\cdots\] \[\ \text{Usando '\\mathbf{}':}\quad\mathbf{\int_{-1}^{1}x\, dx= \left. \dfrac{x^2}{2}\right|_{-1}^{1}=\cdots} \] Esta es una función puesta en la línea del texto \(\int_{-1}^{1}x\, dx= \left. \frac{x^2}{2}\right|_{-1}^{1}=\cdots\), hecha a partir de agregar la configuración propuesta en MathJax para poder introducir funciones en la línea del texto:
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