Ejercicios de exámenes.

•  Ejercicio de exámen 1 (con Trigonometría):
  $$2\sin(3x)=\sqrt{3} \text{, en el intervalo: } (\pi;2\pi)$$
  \[2\sin(3x)=\sqrt{3}\; \Rightarrow\;
  \sin(3x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
  \[3x=z\;(z \in{\mathbb{R}}) \quad \Rightarrow \sin(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
  \[z=\frac{\pi}{3}+2k\pi \quad \wedge \quad z=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \quad (k \in{\mathbb{Z}})\]
  \[3x=z \; \Rightarrow \; 3x=\frac{\pi}{3} +2k\pi \; \wedge \; 3x=\frac{2\pi}{3} +2k\pi \]
  \[3 \cdot 3x= 3\cdot \left(\frac{\pi}{3} +2k\pi \right)  \; \wedge \; 3 \cdot 3x= 3 \cdot \left(\frac{2\pi}{3} +2k\pi \right)\]
  \[9x=  \pi +6k\pi  \; \wedge \; 9x= 2\pi +6k\pi\]
  \[x_1=\frac{\pi +6k\pi}{9} \; \wedge \; x_2= \frac{2\pi +6k\pi}{9}\]
  \[\forall \; k \in \; (\pi;2\pi)\; (k \in \mathbb{Z})\]
  \[\begin{matrix}
   k & = & 1 & & & & & & & \\
  && x_1 & = & \frac{\pi +6(1)\pi}{9} & = & \frac{7\pi}{9} & < & \pi & \\
  \\
   & & x_2 & = & \frac{2\pi +6(1)\pi}{9} & = & \frac{8\pi}{9} & < & \pi & \\
  \\
   k & = & 2 &&&&&&& \\
  && x_1 & = & \frac{\pi +6(2)\pi}{9} & = & \frac{13\pi}{9} & > \pi & \wedge & \frac{13\pi}{9} \; < 2\pi\\
  \\
  && x_2 & = & \frac{2\pi +6(2)\pi}{9} & = & \frac{14\pi}{9} & > \pi & \wedge & \frac{14\pi}{9} \; < 2\pi \\
  \end{matrix}
  \]
  \[S= \left\lbrace \frac{13\pi}{9} ; \frac{14\pi}{9} \right\rbrace\] 

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• Ejercicio de exámen 2 (composición de funciones):
  $$\text{1)Averiguar }(g \circ f)\text{ siendo }g(x)= \sqrt{x}\text{ y }f(x)=ln(x-2) \\
  \text{2)Dar el dominio}$$
  $$1º)\,(g \circ f)\\ g \circ f= g(f(x))=h(x) \quad \Rightarrow \quad h(x)= \sqrt{ln(x-2)}\\ 2º)\, Dom_h\\
  h(x)=\sqrt[n]{a} \; \Rightarrow \; a\geqslant 0 \; \Leftrightarrow \; n \text{ es par} \; \Rightarrow \; h(x) \geqslant 0 \\ \Rightarrow\; \sqrt{ln(x-2)} \geqslant 0\\ln(x-2) \geqslant 0\\ e^{ln(x-2)} \geqslant e^0\\ x-2 \geqslant 1\\
  x \geqslant 1+2 \; \Rightarrow \; x \geqslant 3\\ Dom_h=[3;+\infty)$$

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•  Ejercicio de exámen 3:
  $$f(x)=-3sen(2x)\, \text{ Averiguar los máximos y su valor de }x \in [-\pi;\pi]\\
  \text{1)}\underline{\text{ Amplitud}}:\, |A|\\
  |A|=|-3|=3 \; \Rightarrow\; Im_f=[-3;3]\\
  \text{2)} \underline{\text{ Puntos Máximos}}:\\
  f(x)=3 \, \Leftrightarrow\; -3sen(2x)=3\\
  f(x)=3 \, \Leftrightarrow\; sen(2x)=\frac{3}{(-3)}\\
  f(x)=3 \, \Leftrightarrow\;  sen(2x)=-1 \\
  \text{a)}\underline{\text{ Sustitución }}\\
  2x=z \qquad (z \in{\mathbb{R}})\\
  \Rightarrow\; sen(z)=-1 \quad \Rightarrow \, z=\frac{3\pi}{2}\\
  2x=z \; \Rightarrow\; 2x=\frac{3\pi}{2} \; \Rightarrow\; x=\frac{3\pi}{2}\cdot \frac{1}{2}\\
  x=\frac{3\pi}{4}\\
  \underline{\text{Período (T) de f(x)}}:\\
  T=\frac{2\pi}{|a|}\\
  |a|=|2|=2 \; \Rightarrow\; \frac{2\pi}{2}= k\pi \qquad (k \in{\mathbb{Z}})\\
  \underline{\text{Los puntos máximos son de la forma}}:\\
  \boxed{x=\frac{3\pi}{4}+k\pi}\\
  \\
  k \in [-\pi; \pi]\\
  \begin{matrix}
  & k & = & -1 & & & & \\
  & & & x & = & \frac{3\pi}{4}+(-1)\cdot \pi & = & -\frac{\pi}{4}\\
  & k & = & 0 & & & & \\
  & & & x & = & \frac{3\pi}{4}+(0)\cdot \pi & = & \frac{3\pi}{4}\\
  \end{matrix}\\
  P_{Max} \in [-\pi; \pi]: S=\left\lbrace -\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4} \right\rbrace $$