Cuatro conductos cilindricos identicos de radio r, estan conectados en paralelo. Por ellos circula un fluido viscoso con caudal total Q cuando la diferencia de presion entre sus extremos es \(\Delta P\). Si se reemplaza los cuatro conductos por uno solo de la misma longitud y radio interior 4r, para mantener el mismo caudal, la nueva diferencia de presion es:
\(\dfrac{\Delta P}{16}\)
\(\dfrac{\Delta P}{4}\)
\(\dfrac{\Delta P}{256}\)
\(4\cdot \Delta P\)
\(\dfrac{\Delta P}{64}\)
\(16 \cdot \Delta P\)
Entonces las longitudes L o \(\Delta x\) de los conductos es igual en todos los casos.
La diferencia está en los radios. Para el conducto que vamos a poner, es radio \(4 r\). Por lo que tomamos la ecuación: \[R_h=\dfrac{8 \pi \eta \Delta x}{S^2}\] Recordando que la Sección es, para cada caso:
\[S_1= \pi \cdot r^2 \quad \wedge \quad S_2= \pi \cdot (4r)^2\]
Entonces reemplazamos en la ecuación de resistencia hidrodinámica, teniendo en cuenta que todo lo que esta en el numerador es constante, se reemplaza por una letra cualquiera, yo lo hago ahora por L:
\[R_{h_2}=\dfrac{L}{S^2} \quad \Rightarrow \quad R_{h_2}=\dfrac{L}{(\pi 16 r^2)^2} \quad \Rightarrow \quad R_{h_2}= \dfrac{L}{16^2 S^2}\]
\[\therefore \; R_{h_2}= \dfrac{L}{256 S^2} \quad \Rightarrow \quad \boxed{256 R_{h_2}=\dfrac{L}{S^2}}\]
Los conductos del primer caso están en paralelo por lo que obtenemos:
\[R_{eq_1}=\dfrac{R}{4}\]
Por Poiseuille:
\[\Delta P_1= \dfrac{R_h}{4}\cdot Q\]
Entonces reemplazamos en ésta ecuación la resistencia obtenida (recuadro) para obtener la nueva diferencia de presión:
\[\Delta P_2= \dfrac{256 R_{h_2}}{4} \cdot Q \quad \Rightarrow \quad \Delta P_2= 64R_{h_2} \cdot Q\]
\[\therefore \quad \dfrac{\Delta P }{64}=R_{h_2} \cdot Q \quad \boxed{\textsf{Opción 5}}\]
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