Calorimetría \(H_2O_{hielo \rightarrow \, agua}\), y un poco de entropía

• ¿Qué masa de hielo a \(0^{\circ}C\) sumergida en un litro de \(H_2O\) a \(60^{\circ}C\), en un recipiente adiabático y de calor específico despreciable, es necesaria para que el equilibrio térmico se alcance cuando la temperatura dentro del recipiente sea \(10^{\circ}C\)?

• ¿Qué viariación de entropía sufre el litro de \(H_2O\) en el proceso?

Averiguamos cuánto calor entrega el agua:

\[Q_{H_2O(l)}=m \cdot c_e \cdot \Delta T \; \wedge \, \Delta T = 10^{\circ}C-60^{\circ}C \; \therefore \, \Delta T = -50^{\circ}C\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(l)}= 1000g \cdot 1\frac{cal}{g \cdot {^{\circ}C}} \cdot (-50^{\circ}C)\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(l)}= -50000cal\]

El gráfico resume bastante lo que se sabe hasta ahora, para que el equilibrio suceda a los \(10^{\circ}C\) el hielo en algun punto se derritió completamente, además que entró en la mezcla a \(0^{\circ}C\).

\[\Sigma Q = 0\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(s)}+Q_{H_2O(l)}= 0\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(s)}+ (-50000\, cal)= 0\]

\[\Rightarrow \; Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)} = 50000\, cal\]

Ya se puede calcular la masa de hielo:

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}=Q_{H_2O (s)(0^{\circ}C)} + Q_{H_2O(l)(0^{\circ}C \rightarrow \, 10^{\circ}C)}\]

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)} = (L_f \cdot m ) + (c_e \cdot m \cdot \Delta T)\]

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= \left(80 \frac{cal}{g} \cdot m \right) + \left(1\frac{cal}{g \cdot {^{\circ}C}} \cdot m \cdot (10^{\circ}C - 0^{\circ}C) \right)\]

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= 80 \frac{cal}{g} \cdot m + 10\frac{cal}{g} \cdot m\]

\[Q_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= 90 \frac{cal}{g} \cdot m\]

Reemplazo otra vez:

\[50000\, cal= 90 \frac{cal}{g} \cdot m\]

\[\Rightarrow \; m_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= \dfrac{50000\, cal}{90\, cal} \cdot g\]

\[\Rightarrow \; m_{H_2O(s)\rightarrow \, H_2O(l)}= 555,55\, g\]

Ya así se puede calcular cuántas calorias fundieron toda la masa de hielo y cuántas calorías absorvió para llegar a la temperatura de equilibrio:

\[Q_{H_2O(l)}= 1\frac{cal}{g \cdot {^{\circ}C}} \cdot 555,55\, g \cdot 10^{\circ}C\]

\[Q_{H_2O(l)}= 5555\, cal\]

Entonces las calorías que fundieron al hielo son:

\[Q_{H_2O(s)}=-50000cal + 5555,5 \, cal\]

\[Q_{H_2O(s)}=-44444,5\, cal\]

\[\wedge \; L_f \cdot m_{H_2O(s)}=44444\, cal\]

Punto b:

Considero una evolución isobárica a presión constante, entonces:

\[\Delta S = c_p \cdot m \cdot ln\left(\frac{T_f}{T_i} \right)\]

\[c_{p_{agua}}=1\frac{kcal}{kg \cdot K}\]

\[\Rightarrow \; \Delta S_{agua} = 1\frac{kcal}{kg \cdot K} \cdot 1\, kg \cdot ln \left(\frac{283 \, K}{333 \, K} \right)\]

\[\Rightarrow \; \Delta S_{agua} = -0,16 kcal \cdot K^{-1}\]

Variación de entropía del hielo:

\[\Delta S_{hielo}= \dfrac{Q}{T} + c_{p_{hielo \rightarrow \,agua}} \cdot m \cdot ln \left( \dfrac{T_f}{T_i} \right)\]