MRUV. Ejercicio de opción multiple a partir de un gráfico de aceleración.

Un bloque de 1000 kg (que inicialmente se encuentra en reposo) es elevado por una grúa hasta una cierta altura "h”. El gráfico representa la aceleración que experimenta el bloque en función del tiempo para todo el viaje. Entonces el bloque se ha desplazado:

1. 4 m en los primeros 4 segundos

2. 4 m en los últimos 4 segundos

3. 80 m en los 20 seg. de viaje

4. 20 m en los primeros 7 seg. de viaje

5. 28 m en los últimos 7 seg. de viaje

6. 20 m en los 20 seg. de viaje

Analizamos el gráfico primero sin fórmulas. Lo que se ve primero es que está dividido en tres tramos de aceleración.

• Primer Tramo, vemos la \(\overset{\rightarrow}{a}=1\frac{m}{s^2}\) y el \(\Delta t=4\,s\), entonces se puede encontrar la velocidad y el desplazamiento.

• Segundo Tramo, la \(\overset{\rightarrow}{a}=0\) y el \(\Delta t=12\,s\), no hay aceleración pero sí un intervalo de 12 segundos, y en este tramo llega con la velocidad del tramo anterior y no varía durante todo el intervalo (12 s.). En este tramo la velocidad y el desplazamiento es deducible. Hay M.R.U.

• Tercer Tramo, econtramos otra vez la aceleración constante y de distinto signo. Está frenando.

1. Primer Tramo: \[\overset{\rightarrow}{a}_1=\dfrac{\Delta \overset{\rightarrow}{v}_1}{\Delta t_1}\quad \Rightarrow \quad \Delta \overset{\rightarrow}{v}_1 = \overset{\rightarrow}{a}_1 \cdot \Delta t_1 \quad \Rightarrow \quad \Delta \overset{\rightarrow}{v}_1 = 1\frac{m}{s^2} \cdot 4\,s\] \[\therefore \quad \overset{\rightarrow}{v}_1=4\frac{m}{s}\] El desplazamiento, se nesecita la velocidad inicial y final, la final ya se obtuvo y la inicial la deducimos del enunciado “reposo”.

   \[\Delta x_1=\dfrac{\overset{\rightarrow}{v}^2_1- \overset{\rightarrow}{v}^2_0}{2\cdot a_1}\quad \Rightarrow \quad \Delta x_1=\dfrac{4^2\,m^2 \cdot s^{-2} - 0}{2\cdot 1\,m\cdot s^{-2}}\] \[\therefore \Delta x_1= 8 \, m\]

2. Segundo Tramo:

   \[\Delta x_2= x_2 -x_1 \quad \Rightarrow \; \Delta x_2 = x_2 - 8 \, m\]

   \[\overset{\rightarrow}{v}_m= \dfrac{\Delta x_2}{\Delta t_2} \quad \Rightarrow \quad \Delta x_2 = \overset{\rightarrow}{v}_m \cdot \Delta t_2 \quad \Rightarrow \quad x_2 - 8 \,m = 4\,\frac{m}{s}\cdot 12 \,s \quad \Rightarrow \cdots\]

   \[\cdots \Rightarrow \quad x_2= 48\, m + 8 \, m \quad \Rightarrow \quad x_2=56 \, m\]

3. Tercer Tramo:

   \[\overset{\rightarrow}{v}_2= \overset{\rightarrow}{v}_3 = \overset{\rightarrow}{v}_i\]

   Velocidad final:

   \[\overset{\rightarrow}{v}_f= \overset{\rightarrow}{v}_2 + \overset{\rightarrow}{a}_3 \cdot \Delta t \quad \Rightarrow \quad \overset{\rightarrow}{v}_f= 4\frac{m}{s}+ (-1)\frac{m}{s^2} \cdot 4s \quad \Rightarrow \quad \overset{\rightarrow}{v}_f=0\]

   \[\Delta x_3=\dfrac{\overset{\rightarrow}{v}^2_4 - \overset{\rightarrow}{v}^2_3}{2a}\quad \wedge \, \overset{\rightarrow}{v}_4=\overset{\rightarrow}{v}_f=0\]

   \[\Rightarrow \quad \Delta x_3= \dfrac{0-\left(4\,m\cdot s^{-1}\right)^2}{-2\, m \cdot s^{-2} }\quad \Rightarrow \quad \Delta x_3= 8 \, m\]

   \[\therefore \; \Delta x_3 = x_3 - x_2 \quad \Rightarrow \quad x_3 - x_2 = 8m \quad \Rightarrow \cdots\]

   \[\cdots \Rightarrow \quad x_3 = 8 \, m + x_2 \quad \Rightarrow \quad x_3 = 8 \, m + 56 \, m \quad \Rightarrow \quad x_3 = 64 \, m\]

   \[\Delta x_{Total}= x_3 = 64\, m\]

Entonces ya podemos descartar opciones, 1 2 3 y las dos últimas. Solo queda la cuarta que nos dice que recorrió 20 m en siete segundos.

Sabemos que los primeros 4 segundos recorre 8 m, nos quedan 3 segundos, que son recorridos a razón de 4 m cada segundo, entonces:

\[d_{(0s,7s)}= 8 \,m + \left(4\, m\cdot s^{-1} \cdot 3 \, s\right)= 8 \, m + 12 \, m = 20 \,m\]